Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 551
a) 551
Passo 1
O enunciado pede para determinar quais dos seguintes números são primos. Aqui temos o item:
- (a)
Ou seja: verificar se
é primo; se não for, encontrar uma fatoração (de preferência em fatores primos).
Passo 2
O que é um número primo e o que é composto:
- Um número é primo se for inteiro, maior que
e tiver exatamente dois divisores positivos: e ele mesmo. - Um número é composto se tiver algum divisor positivo diferente de
e dele mesmo; nesse caso pode ser escrito como produto de inteiros maiores que .
Durante a prova normalmente basta encontrar um divisor próprio (entree ) para concluir que o número é composto.
Passo 3
Estratégia eficiente que sempre se usa (e por que funciona):
Se é composto, então existem inteiros
e
tais que
e
. Então necessariamente
. Prova curta: se
e
então
, contradição. Portanto, para decidir primalidade de
basta testar divisibilidade por primos menores ou iguais a
.
Se
Passo 4
Calcular (aproximadamente) a raiz quadrada para saber até onde testar:
Portanto
está entre
e
, isto é
. Logo basta testar divisibilidade de
pelos primos
Passo 5
Teste por
: número par ou ímpar?
-
termina em , logo é ímpar, portanto não é divisível por .
Passo 6
Teste por
: soma dos algarismos é múltiplo de
?
- Soma dos algarismos:
. -
não é múltiplo de , logo não é divisível por .
Passo 7
Teste por
: termina em
ou
?
-
termina em , logo não é divisível por .
Passo 8
Teste por
: divisão inteira
- Calcular
. Observando que , então o resto é . - Como o resto é
, não é divisível por .
Passo 9
Teste por
: critério da diferença dos somatórios alternados
- Alternando sinais nos dígitos:
. -
não é múltiplo de , portanto não é divisível por .
Passo 10
Teste por
: divisão inteira
- Note que
, resto . - Resto não nulo, então
não é divisível por .
Passo 11
Teste por
: divisão inteira
- Note que
, resto . - Resto não nulo, então
não é divisível por .
Passo 12
Teste por
:
- Calcular
. Uma forma rápida: e . - Aqui obtém-se exatamente
. Portanto é um divisor próprio de , logo é composto.
Encontramos a fatoração em inteiros maiores que:
Passo 13
Verificação rápida de que
e
são primos (para ter fatoração em primos):
- Para
: , basta testar e ; não é divisível por nem por , logo é primo. - Para
: , basta testar ; não é divisível por nenhum deles, logo é primo.
Assim a fatoraçãoé a fatoração em primos.