Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 551

Passo 1

O enunciado pede para determinar quais dos seguintes números são primos. Aqui temos o item:
  • (a) 551
Ou seja: verificar se 551 é primo; se não for, encontrar uma fatoração (de preferência em fatores primos).

Passo 2

O que é um número primo e o que é composto:
  • Um número é primo se for inteiro, maior que 1 e tiver exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo.
  • Um número é composto se tiver algum divisor positivo diferente de 1 e dele mesmo; nesse caso pode ser escrito como produto de inteiros maiores que 1.
    Durante a prova normalmente basta encontrar um divisor próprio (entre 2 e n-1) para concluir que o número é composto.

Passo 3

Estratégia eficiente que sempre se usa (e por que funciona):
Se n é composto, então existem inteiros a e b tais que n=a\cdot b e 1<a\le b<n. Então necessariamente a\le \sqrt{n}. Prova curta: se a>\sqrt{n} e b>\sqrt{n} então a\cdot b>\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n, contradição. Portanto, para decidir primalidade de n basta testar divisibilidade por primos menores ou iguais a \sqrt{n}.

Passo 4

Calcular (aproximadamente) a raiz quadrada para saber até onde testar:
  • 23^2 = 529
  • 24^2 = 576
Portanto \sqrt{551} está entre 23 e 24, isto é \sqrt{551}\approx 23{,}48. Logo basta testar divisibilidade de 551 pelos primos
2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23.

Passo 5

Teste por \,2: número par ou ímpar?
  • 551 termina em 1, logo é ímpar, portanto não é divisível por 2.

Passo 6

Teste por \,3: soma dos algarismos é múltiplo de 3?
  • Soma dos algarismos: 5+5+1=11.
  • 11 não é múltiplo de 3, logo 551 não é divisível por 3.

Passo 7

Teste por \,5: termina em 0 ou 5?
  • 551 termina em 1, logo não é divisível por 5.

Passo 8

Teste por \,7: divisão inteira
  • Calcular 551\div 7. Observando que 7\cdot 78 = 546, então o resto é 551-546=5.
  • Como o resto é 5\neq 0, 551 não é divisível por 7.

Passo 9

Teste por \,11: critério da diferença dos somatórios alternados
  • Alternando sinais nos dígitos: 5-5+1=1.
  • 1 não é múltiplo de 11, portanto 551 não é divisível por 11.

Passo 10

Teste por \,13: divisão inteira
  • Note que 13\cdot 42 = 546, resto 551-546=5.
  • Resto não nulo, então 551 não é divisível por 13.

Passo 11

Teste por \,17: divisão inteira
  • Note que 17\cdot 32 = 544, resto 551-544=7.
  • Resto não nulo, então 551 não é divisível por 17.

Passo 12

Teste por \,19:
  • Calcular 19\cdot 29. Uma forma rápida: 19\cdot 30 = 570 e 19\cdot 29 = 570-19 = 551.
  • Aqui obtém-se exatamente 19\cdot 29 = 551. Portanto 19 é um divisor próprio de 551, logo 551 é composto.
    Encontramos a fatoração em inteiros maiores que 1:
551 = 19\cdot 29.

Passo 13

Verificação rápida de que 19 e 29 são primos (para ter fatoração em primos):
  • Para 19: \sqrt{19}\approx 4{,}35, basta testar 2 e 3; 19 não é divisível por 2 nem por 3, logo 19 é primo.
  • Para 29: \sqrt{29}\approx 5{,}38, basta testar 2,3,5; 29 não é divisível por nenhum deles, logo 29 é primo.
    Assim a fatoração 551=19\cdot29 é a fatoração em primos.

Resposta

551 = 19\cdot29 (composto)

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