Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 569
a) 569
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o número
é primo.
Informações dadas: o único dado é o número . A pergunta é única: “é primo ou composto?”
Informações dadas: o único dado é o número
Passo 2
O que significa “primo” e qual estratégia vou usar (explicação didática).
- Definição: um número inteiro maior que
é primo se seus únicos divisores positivos são e ele mesmo. Caso contrário é composto. - Estratégia prática (método da prova): para testar se um número inteiro
é primo, basta tentar dividir por todos os números primos menores ou iguais a . Se nenhum desses primos divide , então é primo. - Por que funciona: se
fosse composto, existiriam inteiros e tais que com . Então (senão teríamos ). Assim um divisor não trivial sempre aparece menor ou igual a . Logo só precisamos testar primos até .
Passo 3
Calcular a cota superior
para saber até quais primos testar.
- Observação rápida:
e . Como , segue que está entre e . Portanto basta testar todos os primos menores ou iguais a . - Lista dos primos a testar:
.
Passo 4
Teste com o primo
.
- Regra: um número é divisível por
se for par (último dígito ). - Aqui o último dígito de
é , então é ímpar e não é divisível por .
Passo 5
Teste com o primo
.
- Regra rápida: um número é divisível por
se a soma dos seus dígitos for múltiplo de . - Soma dos dígitos de
é . Como não é múltiplo de , então não é divisível por .
Passo 6
Teste com o primo
.
- Regra: um número é divisível por
se terminar em ou . -
termina em , logo não é divisível por .
Passo 7
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 8
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 9
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 10
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 11
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 12
Teste com o primo
.
- Faço a divisão inteira:
. - Resto:
. - Portanto
não divide .
Passo 13
Conclusão da verificação:
- Nenhum dos primos
dividiu . Como testei todos os primos até , pelo argumento do Passo 2 segue que não tem divisores não triviais. Logo é primo. Força aí — esse tipo de verificação por tentativas é exatamente o que costuma cair em prova quando pedem “determine se é primo”.