Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 569

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o número 569 é primo.
Informações dadas: o único dado é o número 569. A pergunta é única: “é primo ou composto?”

Passo 2

O que significa “primo” e qual estratégia vou usar (explicação didática).
  • Definição: um número inteiro maior que 1 é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Caso contrário é composto.
  • Estratégia prática (método da prova): para testar se um número inteiro n é primo, basta tentar dividir n por todos os números primos menores ou iguais a \sqrt{n}. Se nenhum desses primos divide n, então n é primo.
  • Por que funciona: se n fosse composto, existiriam inteiros a e b tais que n=a\cdot b com 1<a\le b<n. Então a\le\sqrt{n} (senão teríamos a\cdot b>\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n). Assim um divisor não trivial sempre aparece menor ou igual a \sqrt{n}. Logo só precisamos testar primos até \sqrt{n}.

Passo 3

Calcular a cota superior \sqrt{569} para saber até quais primos testar.
  • Observação rápida: \,24^2=576 e \,23^2=529. Como 529<569<576, segue que \sqrt{569} está entre 23 e 24. Portanto basta testar todos os primos menores ou iguais a 23.
  • Lista dos primos a testar: 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23.

Passo 4

Teste com o primo \,2.
  • Regra: um número é divisível por 2 se for par (último dígito 0,2,4,6,8).
  • Aqui o último dígito de 569 é 9, então 569 é ímpar e não é divisível por 2.

Passo 5

Teste com o primo \,3.
  • Regra rápida: um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltiplo de 3.
  • Soma dos dígitos de 569 é 5+6+9=20. Como 20 não é múltiplo de 3, então 569 não é divisível por 3.

Passo 6

Teste com o primo \,5.
  • Regra: um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.
  • 569 termina em 9, logo não é divisível por 5.

Passo 7

Teste com o primo \,7.
  • Faço a divisão inteira: 7\cdot81=567.
  • Resto: 569-567=2\neq0.
  • Portanto 7 não divide 569.

Passo 8

Teste com o primo \,11.
  • Faço a divisão inteira: 11\cdot51=561.
  • Resto: 569-561=8\neq0.
  • Portanto 11 não divide 569.

Passo 9

Teste com o primo \,13.
  • Faço a divisão inteira: 13\cdot43=559.
  • Resto: 569-559=10\neq0.
  • Portanto 13 não divide 569.

Passo 10

Teste com o primo \,17.
  • Faço a divisão inteira: 17\cdot33=561.
  • Resto: 569-561=8\neq0.
  • Portanto 17 não divide 569.

Passo 11

Teste com o primo \,19.
  • Faço a divisão inteira: 19\cdot29=551.
  • Resto: 569-551=18\neq0.
  • Portanto 19 não divide 569.

Passo 12

Teste com o primo \,23.
  • Faço a divisão inteira: 23\cdot24=552.
  • Resto: 569-552=17\neq0.
  • Portanto 23 não divide 569.

Passo 13

Conclusão da verificação:
  • Nenhum dos primos \,2,3,5,7,11,13,17,19,23 dividiu 569. Como testei todos os primos até \sqrt{569}, pelo argumento do Passo 2 segue que 569 não tem divisores não triviais. Logo 569 é primo. Força aí — esse tipo de verificação por tentativas é exatamente o que costuma cair em prova quando pedem “determine se é primo”.

Resposta

\,569 é primo.

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