Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
sumn=1^infty 3^2 n4^3 n+2.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty 3^2n4^3n+2
Isso é conteúdo de séries numéricas, mais especificamente uma série geométrica. Vamos identificar o termo geral como potência de uma razão r e aplicar o critério de convergência para séries geométricas e, em caso afirmativo, usar a fórmula da soma.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
3^2n4^3n+2 =9^n4^2cdot4^3n =9^n16cdot 64^n =116l(964r)^n

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo
a1 = 116l(964r)
e razão
r = 964
Como lvert rrvert = 9/64 < 1, a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica sumn=1^infty ar^n-1 a soma é a/(1-r), mas aqui temos sumn=1^infty a1r^,n-1r = sumn=1^infty a1r^n = a1,r1-r. Assim
sumn=1^infty3^2n4^3n+2 =116,9641-964 =9/10245564 =91024cdot6455 =9880

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty3^2n4^3n+2=9880

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