Questão 6: (12 pts) Seja
a região do espaço
gerada pela interseção das regiões definidas pelas seguintes desigualdades:
e
. Determine o valor da integral:
Passo 1
O enunciado pede
onde
é a região em que
(casca esférica de raios 2 e 3) e
,
(setor angular no plano
de
a
).
Vamos usar coordenadas esféricas .
Vamos usar coordenadas esféricas
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com jacobiano
Além disso
Passo 3
O integrando fica
e multiplicando pelo jacobiano
Passo 4
Os limites de integração são
de 2 a 3,
de 0 a
(toda a direção polar) e
de
a
(setor dado).
Assim
Assim
Passo 5
Integramos em sequência:
Multiplicando,