Questão 6: (12 pts) Seja W a região do espaço R^3 gerada pela interseção das regiões definidas pelas seguintes desigualdades: y >= raiz33 x, y <= raiz3 x, x^2+y^2+z^2 >= 4 e x^2+y^2+z^2 <= 9. Determine o valor da integral:
I=integral triplaW 1raiz(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede
I=integral triplaW1raizl(x^2+y^2r)l(x^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz,
onde W é a região em que
4 <= x^2+y^2+z^2<=9 (casca esférica de raios 2 e 3) e
y>=raiz33,x, y<=raiz3,x (setor angular no plano xy de theta=pi/6 a theta=pi/3).
Vamos usar coordenadas esféricas (rho,phi,theta).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Além disso
x^2+y^2=rho^2sin^2phi, x^2+y^2+z^2=rho^2

Passo 3

O integrando fica
1raiz(rho^2sin^2phi),rho^2 =1rho^2sinphi,
e multiplicando pelo jacobiano
1rho^2sinphi,rho^2sinphi =1

Passo 4

Os limites de integração são
rho de 2 a 3,
phi de 0 a pi (toda a direção polar) e
theta de pi/6 a pi/3 (setor dado).
Assim
I =integraltheta=pi/6^pi/3 integralphi=0^pi integralrho=2^3 1 ,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Integramos em sequência:
integral2^3drho = 3-2 =1, integral0^pidphi = pi, integralpi/6^pi/3dtheta = pi3-pi6 = pi6
Multiplicando,
I = 1cdotpicdotpi6 = pi^26

Resposta

I = pi^26

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