Questão 10. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime prime-4 y^prime+4 y & =3 e^-t y(0) & =0, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 4y = 3e^-t, y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico: 1) encontrar a solução geral da homogênea, 2) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados, 3) impor as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associated
y'' - 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r +4 = 0 Longrightarrow (r-2)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=2. Isso dá
yh(t) = (C1 + C2,t)e^2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do não-homogêneo
y'' - 4y' +4y = 3e^-t,
aplicamos coeficientes indeterminados. Como o RHS é 3e^-t e -1neq 2, tentamos
yp(t) = A,e^-t
Então
yp' = -A e^-t, yp'' = A e^-t,
e substituindo na equação:
yp'' -4yp' +4yp = A e^-t -4(-A e^-t) +4(A e^-t) = (1+4+4)A,e^-t =9A,e^-t
Queremos 9A,e^-t=3e^-t, logo A=tfrac13. Assim
yp(t) = tfrac13,e^-t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2,t)e^2t + tfrac13,e^-t
Para aplicar y(0)=0 e y'(0)=2, precisamos de y'(t). Derivando:
y'(t) = ddtl[(C1 + C2,t)e^2tr] + ddtl[tfrac13e^-tr] = l(C2 +2C1 +2C2,tr)e^2t - tfrac13,e^-t

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C1 + 0 + tfrac13 = 0 Longrightarrow C1 = -tfrac13
  1. y'(0)=2
l(C2 +2C1r)cdot1 - tfrac13 = 2 Longrightarrow C2 +2l(-tfrac13r) - tfrac13 = 2 Longrightarrow C2 - tfrac23 - tfrac13 = 2 Longrightarrow C2 = 3

Resposta

boxedy(t) = l(-tfrac13 + 3tr)e^2t ;+; tfrac13,e^-t

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