Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=x^y

Passo 1

O enunciado pede para achar, em cada “item” do domínio onde f está definida, o conjunto em que
f(x,y)=x^y
é contínua. O conteúdo é análise de continuidade de funções de duas variáveis e domínio de definição da potência real.

Passo 2

Para começar, identificamos as formas de definir x^y no conjunto dos reais:
  1. Se x>0, então
x^y = expl(yln xr),
onde ln x e a exponencial são funções contínuas. Logo, toda a composição é contínua em (0,infty)timesR.

Passo 3

Se x<0, só podemos dar sentido real a x^y quando y é racional da forma tfracpq em que p e q são inteiros primos entre si e q é ímpar. Nesse caso
x^tfracpq = l(,|x|,r)^tfracpqtimesl(sgn,xr)^p,
e como |x|^p/q e sgn,x são contínuas em (-infty,0), conclui-se que x^p/q é contínua em cada conjunto
(-infty,0)timesltfracpqcolon q ímparr í

Passo 4

Para x=0, a definição usual é
0^y = 0 somente quando y>0,
pois limxto0^+x^y=0 se y>0. Assim, podemos enxergar continuidade de f em
0times(0,infty)
Para y<=0 a expressão não faz sentido (ou tende a infty), logo não faz parte do domínio.

Passo 5

Observação especial: se y é inteiro, então tfracpq=y com q=1 (ímpar), e o caso de expoente inteiro fica incluído no item dos racionais de denominação ímpar.

Resposta

f(x,y)=x^y é contínua nos seguintes conjuntos (seu domínio de definição dividido em partes onde a continuidade vale):
boxed (i) (0,infty)timesR, (ii) (-infty,0)timesl,tfracpq:p,qinZ, gcd(p,q)=1, q ímparr, (iii) 0times(0,infty) í

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