Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: os termos da sequência, na ordem, são . Nada mais foi fornecido.
Informações dadas: os termos da sequência, na ordem, são
Passo 2
Primeiro, vamos recordar claramente o que significa “sequência converge”. A sequência
converge para um número
se, e só se, valem as duas condições seguintes (definição
-
):
Isto quer dizer: depois de algum índice
, todos os termos da sequência ficam numa “bola” de raio
ao redor de
. Se não existe tal
, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Vamos descrever a sequência de forma organizada, observando um padrão. Note que os termos repetem um ciclo de comprimento
:
Podemos escrever isso rigorosamente como
para todo
inteiro. Ou seja, há três valores que aparecem repetidamente:
,
e
.
Passo 4
Uma estratégia prática para provar divergência é usar subsequências. Lembrete importante (teorema usado): se
converge para
, então toda subsequência
também converge para o mesmo
. Portanto, se encontrarmos duas subsequências que têm limites diferentes, isso já prova que
não pode convergir.
Passo 5
Construímos três subsequências óbvias, pegando as posições correspondentes ao padrão:
- Subsequência dos termos nas posições
: . Essa subsequência é constante igual a , logo converge para . - Subsequência dos termos nas posições
: . Essa é constante igual a , logo converge para . - Subsequência dos termos nas posições pares
: . Essa é constante igual a , logo converge para .
Temos, então, três subsequências com limites diferentes:
,
e
. Como todas as subsequências de uma sequência convergente devem tender para o mesmo limite, concluímos que a sequência original não pode convergir.
Passo 6
Para reforçar, faço também uma demonstração por contradição com a definição
-
, que é direta e mecânica (útil em prova): suponha que
converge para algum
. Tome
. Pela definição, existe
tal que, para todo
, temos
. Mas, devido ao padrão da sequência, existem índices arbitrariamente grandes
com
e existem índices arbitrariamente grandes
com
. Assim devemos ter simultaneamente
Pela desigualdade triangular,
o que é impossível (pois
é falso). Essa contradição mostra que não existe
com a propriedade
-
; portanto a sequência diverge.
Passo 7
Interpretando o que isso significa para a prova: na hora da prova, é rápido verificar o padrão periódico, extrair duas subsequências com limites diferentes (por exemplo, a constante
e a constante
) e concluir divergência. Essa é a maneira mais direta e segura.
Resposta
A sequência
diverge; não existe limite.