Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
{1,0,-1,0,1,0,-1,0, \ldots}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência \{1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots\} converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: os termos da sequência, na ordem, são \,1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar claramente o que significa “sequência converge”. A sequência (a_n) converge para um número L se, e só se, valem as duas condições seguintes (definição \varepsilon- N):
\text{para todo }\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
Isto quer dizer: depois de algum índice N, todos os termos da sequência ficam numa “bola” de raio \varepsilon ao redor de L. Se não existe tal L, dizemos que a sequência diverge.

Passo 3

Vamos descrever a sequência de forma organizada, observando um padrão. Note que os termos repetem um ciclo de comprimento 4:
1,0,-1,0,\;1,0,-1,0,\;\ldots
Podemos escrever isso rigorosamente como
a_{4k+1}=1,\qquad a_{4k+2}=0,\qquad a_{4k+3}=-1,\qquad a_{4k+4}=0,
para todo k\ge 0 inteiro. Ou seja, há três valores que aparecem repetidamente: 1, 0 e -1.

Passo 4

Uma estratégia prática para provar divergência é usar subsequências. Lembrete importante (teorema usado): se (a_n) converge para L, então toda subsequência (a_{n_k}) também converge para o mesmo L. Portanto, se encontrarmos duas subsequências que têm limites diferentes, isso já prova que (a_n) não pode convergir.

Passo 5

Construímos três subsequências óbvias, pegando as posições correspondentes ao padrão:
  • Subsequência dos termos nas posições n=4k+1: \;a_1,a_5,a_9,\ldots\;=\;1,1,1,\ldots. Essa subsequência é constante igual a 1, logo converge para 1.
  • Subsequência dos termos nas posições n=4k+3: \;a_3,a_7,a_{11},\ldots\;=\;-1,-1,-1,\ldots. Essa é constante igual a -1, logo converge para -1.
  • Subsequência dos termos nas posições pares n=2m: \;a_2,a_4,a_6,\ldots\;=\;0,0,0,\ldots. Essa é constante igual a 0, logo converge para 0.
Temos, então, três subsequências com limites diferentes: 1, -1 e 0. Como todas as subsequências de uma sequência convergente devem tender para o mesmo limite, concluímos que a sequência original não pode convergir.

Passo 6

Para reforçar, faço também uma demonstração por contradição com a definição \varepsilon- N, que é direta e mecânica (útil em prova): suponha que (a_n) converge para algum L. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Pela definição, existe N tal que, para todo n\ge N, temos |a_n-L|<\tfrac{1}{2}. Mas, devido ao padrão da sequência, existem índices arbitrariamente grandes n'\ge N com a_{n'}=1 e existem índices arbitrariamente grandes n''\ge N com a_{n''}=-1. Assim devemos ter simultaneamente
|1-L|<\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad|-1-L|<\tfrac{1}{2}.
Pela desigualdade triangular,
2=|1-(-1)| \le |1-L| + |L+1| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1,
o que é impossível (pois 2<1 é falso). Essa contradição mostra que não existe L com a propriedade \varepsilon- N; portanto a sequência diverge.

Passo 7

Interpretando o que isso significa para a prova: na hora da prova, é rápido verificar o padrão periódico, extrair duas subsequências com limites diferentes (por exemplo, a constante 1 e a constante -1) e concluir divergência. Essa é a maneira mais direta e segura.

Resposta

A sequência \{1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots\} diverge; não existe limite.

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