Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o limite
.
Informações relevantes do enunciado:
- A sequência é explicitamente
. - O índice
tende para o infinito (ou seja, consideramos ). - A pergunta é: existe um número real
tal que ? Se não existir limite finito, devemos verificar se há divergência para ou .
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de convergência (pra gente entender direitinho como provar ou refutar):
A sequência converge para um número real
se, e somente se, para todo
existe um
tal que, para todo
, vale
.
A sequência
Explicando as variáveis:
-
é qualquer tolerância (quão perto queremos ficar de ). -
depende de e é o ponto a partir do qual todos os termos ficam dentro da bola de raio centrada em .
Intuição: se a sequência tem limite, depois de algum termo todos os termos ficam muito próximos de e não se afastam mais.
Vou usar essa definição para testar se existe um limite finito para
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que a sequência
converge para algum
.
Escolho
. Pela definição de convergência, existe
tal que, para todo
,
Isto significa que para todo
temos
Portanto todos os termos
com
estariam obrigatoriamente contidos no intervalo aberto
, que é limitado (tem um máximo
).
Mas isso é impossível, porque os números naturais
não ficam todos contidos em um intervalo limitado: existem
arbitrariamente grandes. Em particular, escolha
maior que
; esse
não satisfará
. Assim chegamos a uma contradição.
Logo, a suposição de existência de um limite finito
é falsa. Portanto
não converge para nenhum número real finito.
Passo 4
Mesmo que não haja limite finito, podemos verificar se a sequência diverge para
. A definição de
é:
para todo existe
tal que, para todo
,
.
para todo
Tomemos um
arbitrário. Como
, podemos escolher
onde
é a parte inteira de
. Para qualquer
temos
portanto
.
Isso mostra exatamente a condição necessária: dado qualquer
, existe
(dependendo de
) tal que
implica
. Logo
.
Passo 5
Interpretação e comentário final (amigo, segue confiante!): a sequência
é estritamente crescente e não tem limite finito, porque seus termos crescem sem parar. O que ela tem é crescimento sem limite — dizemos que diverge e mais precisamente que diverge para
.
Resposta
A sequência diverge;
.