Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=n

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=n para n=1,2,3,\dots e pede para determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes do enunciado:
  • A sequência é explicitamente a_n = n.
  • O índice n tende para o infinito (ou seja, consideramos n\to\infty).
  • A pergunta é: existe um número real L tal que \lim_{n\to\infty} a_n = L? Se não existir limite finito, devemos verificar se há divergência para +\infty ou -\infty.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de convergência (pra gente entender direitinho como provar ou refutar):
A sequência \{a_n\} converge para um número real L se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon.
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon>0 é qualquer tolerância (quão perto queremos ficar de L).
  • N depende de \varepsilon e é o ponto a partir do qual todos os termos ficam dentro da bola de raio \varepsilon centrada em L.
    Intuição: se a sequência tem limite L, depois de algum termo todos os termos ficam muito próximos de L e não se afastam mais.
Vou usar essa definição para testar se existe um limite finito para a_n=n.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que a sequência \{a_n\} converge para algum L\in\mathbb{R}.
Escolho \varepsilon=1. Pela definição de convergência, existe N tal que, para todo n\ge N,
|a_n - L| = |n - L| < 1.
Isto significa que para todo n\ge N temos
-1 < n - L < 1 \quad\Rightarrow\quad L-1 < n < L+1.
Portanto todos os termos n com n\ge N estariam obrigatoriamente contidos no intervalo aberto (L-1,L+1), que é limitado (tem um máximo L+1).
Mas isso é impossível, porque os números naturais n não ficam todos contidos em um intervalo limitado: existem n arbitrariamente grandes. Em particular, escolha n maior que \max\{N,\lfloor L\rfloor+2\}; esse n não satisfará n<L+1. Assim chegamos a uma contradição.
Logo, a suposição de existência de um limite finito L é falsa. Portanto \{a_n\} não converge para nenhum número real finito.

Passo 4

Mesmo que não haja limite finito, podemos verificar se a sequência diverge para +\infty. A definição de \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty é:
para todo M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, a_n > M.
Tomemos um M>0 arbitrário. Como a_n=n, podemos escolher
N = \lfloor M\rfloor + 1,
onde \lfloor M\rfloor é a parte inteira de M. Para qualquer n\ge N temos
n \ge N = \lfloor M\rfloor + 1 > M,
portanto a_n = n > M.
Isso mostra exatamente a condição necessária: dado qualquer M>0, existe N (dependendo de M) tal que n\ge N implica a_n > M. Logo \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.

Passo 5

Interpretação e comentário final (amigo, segue confiante!): a sequência a_n=n é estritamente crescente e não tem limite finito, porque seus termos crescem sem parar. O que ela tem é crescimento sem limite — dizemos que diverge e mais precisamente que diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.

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