EXERCÍCIO 4: a) Determine qual será a velocidade do centro de massa de um ioiô quando ele chega ao final da corda. Suponha que o ioiô seja um cilindro e foi liberado do repouso e que a corda tenha um metro de comprimento. O rolamento do ioiô pode ser considerado suave. b) Compare o resultado obtido com o caso de um cilindro caindo sendo rotação. Qual a diferença de energia cinética nos dois casos?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do centro de massa de um ioi^o (modelo de cilindro de massa m e raio R) quando ele chega ao fim de uma corda de comprimento L=1,m, partindo do repouso e rolando sem deslizar. Depois, quer comparar esse resultado com o de um cilindro em queda livre (sem rota\c{c}~ao) e ver qual a diferen\c{c}a de energia cin’etica nos dois casos. Vamos usar conserva\c{c}~ao de energia e a condi\c{c}~ao de n~ao deslizamento.

Passo 2

No início o ioiô tem energia potencial
m g L
e velocidade nula. Ao final essa energia vira energia cinética de translação mais energia cinética de rotação:
m g L ;=;tfrac12,m,v^2;+;tfrac12,I,omega^2

Passo 3

Como a corda desenrola sem deslizar, vale
v = R,omega

Passo 4

O momento de inércia de um cilindro sólido em torno do eixo é
I = tfrac12,m,R^2
Substituindo em tfrac12,I,omega^2 e usando omega=v/R, obtém-se
tfrac12,I,omega^2 = tfrac12l(tfrac12,m,R^2r)l(tfracv^2R^2r) = tfrac14,m,v^2

Passo 5

A equação de energia fica
m g L = tfrac12,m,v^2 + tfrac14,m,v^2 = tfrac34,m,v^2
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v^2 = 43,g,L Longrightarrow v = raiz43,g,L

Passo 6

Para L=1,m e gapprox9,8,m/ s^2,
v = raiztfrac43cdot9,8cdot1approx3,6;m/s

Passo 7

No caso de um cilindro em queda livre (sem rotação) toda a energia m g L vira energia de translação, ou seja
m g L = tfrac12,m,vlivre^2 Longrightarrow vlivre=raiz2,g,L
Já no ioiô a energia de translação final é
tfrac12,m,v^2 = tfrac23,m,g,L
e sobra
tfrac13,m,g,L
em energia rotacional. Portanto, a diferença de energia cinética entre o cilindro em queda livre e o ioiô é
De<a E = m g L - tfrac23,m,g,L = tfrac13,m,g,L

Resposta

a) v = raiztfrac43,g,Lapprox3,6,m/s.
b) Na queda livre toda a energia potencial vira energia de transla\c{c}~ao (m g L), enquanto no ioi^o tfrac23,m g L vira transla\c{c}~ao e tfrac13,m g L rota\c{c}~ao. A diferen\c{c}a 'e De<a E=tfrac13,m,g,L.

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