- Usando a série de Taylor
mostre que, para grandes valores do comprimento de onda
, a lei de Planck se reduz à lei de RayleighJeans.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no limite de grandes comprimentos de onda
, a lei de Planck para a radiância espectral
se reduz à lei de Rayleigh–Jeans. O conteúdo principal é usar a série de Taylor de
para aproximar o denominador de Planck quando o argumento é pequeno.
Passo 2
A lei de Planck em função de
é dada por
onde
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz e
é a constante de Boltzmann.
Passo 3
Para grandes
, o argumento
é pequeno (
). Pela série de Taylor de
temos
Logo,
quando
.
Passo 4
Substituindo
no denominador de
, obtemos
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
que é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans para radiância espectral.
Resposta
ou seja, a lei de Planck reduz-se à lei de Rayleigh–Jeans.