1. Usando a série de Taylor
e^x=1+x+x^22!+x^33!+ldots
mostre que, para grandes valores do comprimento de onda lambda, a lei de Planck se reduz à lei de RayleighJeans.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no limite de grandes comprimentos de onda lambda, a lei de Planck para a radiância espectral Blambda se reduz à lei de Rayleigh–Jeans. O conteúdo principal é usar a série de Taylor de e^x para aproximar o denominador de Planck quando o argumento é pequeno.

Passo 2

A lei de Planck em função de lambda é dada por
Blambda(lambda,T) =2,h,c^2lambda^5, 1exp!l(tfrach,clambda,k,Tr)-1,,
onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e k é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Para grandes lambda, o argumento
x=h,clambda,k,T
é pequeno ( xll1). Pela série de Taylor de e^x temos
e^x=1+x+x^22!+cdots
Logo,
e^x-1approx x
quando xto0.

Passo 4

Substituindo e^x-1approx x no denominador de Blambda, obtemos
Blambda(lambda,T) approx2,h,c^2lambda^5;1x =2,h,c^2lambda^5;1h,clambda,k,T

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
Blambda(lambda,T) approx2,h,c^2lambda^5;lambda,k,Th,c =2,c,k,Tlambda^4,,
que é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans para radiância espectral.

Resposta

Blambda(lambda,T);xrightarrowlambda grande;2,c,k,Tlambda^4,,
ou seja, a lei de Planck reduz-se à lei de Rayleigh–Jeans.

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