Exercício 2.5 Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também quer a soma. As informações relevantes dadas são: o termo geral é
e a soma é feita de
até
. Não há outras condições ocultas no enunciado.
Passo 2
Vamos usar um teste básico e muito útil: o teste da condição necessária para convergência. Ele diz o seguinte (vou explicar rapidinho por que é verdade): se
converge para algum número finito
, então os termos
têm de tender a zero, ou seja,
Raciocínio curto: se
quando
, então
e o limite de
é
. Portanto, se encontrarmos que
, a série diverge imediatamente.
Passo 3
Calculemos o limite do termo geral
. Primeiro simplificamos a fração dentro do log dividindo numerador e denominador por
:
Agora tomamos limite quando
:
Aplicando a função logaritmo (que é contínua), obtemos
Observe que
(é
, um número negativo).
Passo 4
Pelo teste da condição necessária: como
, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 5
Para ficar mais claro o que acontece com as somas parciais: como
tende a um número negativo
, para
grande os termos são próximos desse negativo, e a soma parcial
cresce (em módulo) sem limite no sentido negativo; em particular
. Isso confirma que a série diverge e dá a direção da divergência.
Resposta
A série diverge (as somas parciais tendem a
).