Exercício 2.5 Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, também quer a soma. As informações relevantes dadas são: o termo geral é
a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right),
e a soma é feita de n=1 até +\infty. Não há outras condições ocultas no enunciado.

Passo 2

Vamos usar um teste básico e muito útil: o teste da condição necessária para convergência. Ele diz o seguinte (vou explicar rapidinho por que é verdade): se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge para algum número finito S, então os termos a_n têm de tender a zero, ou seja,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Raciocínio curto: se S_N=\sum_{k=1}^N a_k\to S quando N\to\infty, então a_n = S_n-S_{n-1} e o limite de a_n é S-S=0. Portanto, se encontrarmos que \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Calculemos o limite do termo geral a_n. Primeiro simplificamos a fração dentro do log dividindo numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Aplicando a função logaritmo (que é contínua), obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
Observe que \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \neq 0 -\ln 2, um número negativo).

Passo 4

Pelo teste da condição necessária: como \lim_{n\to\infty} a_n = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\neq 0, a série não pode convergir. Logo a série diverge.

Passo 5

Para ficar mais claro o que acontece com as somas parciais: como a_n tende a um número negativo \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)<0, para n grande os termos são próximos desse negativo, e a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^N a_n cresce (em módulo) sem limite no sentido negativo; em particular S_N\to -\infty. Isso confirma que a série diverge e dá a direção da divergência.

Resposta

A série diverge (as somas parciais tendem a -\infty).

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