Exercício 8: Determine T(t), N(t) e B(t) no ponto ( 0,0,1 ), se
r(t)=(\ln (\cos (t)), \operatorname{sen}(t), \cos (t))
Em seguida, encontre equações dos planos normal e osculador à r(t) nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\bigl(\ln(\cos(t)),\;\sin(t),\;\cos(t)\bigr)
e pede duas coisas no ponto (0,0,1):
  1. Determinar os vetores unitários \,T(t),\,N(t),\,B(t)\, avaliados nesse ponto.
  2. Encontrar as equações do plano normal e do plano osculador à curva nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
r(t)=\bigl(\ln(\cos t),\;\sin t,\;\cos t\bigr),\qquad \text{o ponto: }\bigl(0,0,1\bigr).
Observação necessária para iniciar: precisamos achar o parâmetro t_0 tal que r(t_0)=(0,0,1). Depois, calcular r'(t) e r''(t), avaliar em t_0 e usar as definições de T,N,B e das equações dos planos no ponto.

Passo 2

Achar o parâmetro t_0 com r(t_0)=(0,0,1).
A condição r(t)=(0,0,1) dá três equações:
\ln(\cos t)=0,\quad \sin t=0,\quad \cos t=1.
Da terceira eq. \cos t=1 obtemos t=2k\pi para k\in\mathbb{Z}. Para esses valores \sin t=0 e \ln(\cos t)=\ln 1=0 satisfazem as demais equações. Portanto podemos escolher o representante mais simples
t_0=0.

Passo 3

Calcular r'(t) e r''(t) de forma explícita (aqui explico a regra que usei).
Regra usada: derivada de \ln(\cos t) é
\frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{1}{\cos t}\cdot(-\sin t)=-\tan t.
Assim
r'(t)=\bigl(-\tan t,\;\cos t,\;-\sin t\bigr).
Agora derivamos componente a componente para obter r''(t).
Derivadas componentes:
  • \frac{d}{dt}(-\tan t)=-\operatorname{sec}^2 t (pois (\tan t)'=\operatorname{sec}^2 t).
  • \frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
  • \frac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
Portanto
r''(t)=\bigl(-\operatorname{sec}^2 t,\;-\sin t,\;-\cos t\bigr).

Passo 4

Avaliar r'(t) e r''(t) em t_0=0.
Usando \sin 0=0,\;\cos 0=1,\;\tan 0=0,\;\operatorname{sec}^2 0=1, temos
r'(0)=\bigl(0,\;1,\;0\bigr),
r''(0)=\bigl(-1,\;0,\;-1\bigr).
Explicando por que precisamos desses vetores: r'(t) dá a direção tangente (não normalizada) e r''(t) contém a informação sobre a curvatura e a direção do vetor normal.

Passo 5

Calcular o vetor tangente unitário \,T(0).
Definição: o vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|},
onde \|v\| é a norma euclidiana de v.
Calcule a norma de r'(0):
\|r'(0)\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1.
Logo
T(0)=\frac{r'(0)}{1}= \bigl(0,\;1,\;0\bigr).
Comentário didático: isso quer dizer que, no ponto dado, a curva está “andando” na direção positiva do eixo y.

Passo 6

Calcular o vetor normal principal N(0).
Definição (forma prática): o vetor normal principal é a normalização de T'(t). Outra forma útil em cálculo é projetar r''(t) na direção perpendicular a T e normalizar. Em fórmulas:
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}=\frac{r''(t)-\bigl(r''(t)\cdot T(t)\bigr)T(t)}{\|\,r''(t)-\bigl(r''(t)\cdot T(t)\bigr)T(t)\,\|}.
Aqui a parte r''(t)\cdot T(t) é a componente de r'' na direção de T; subtraindo obtemos a componente normal.
Aplicando em t=0:
Calcule o produto escalar r''(0)\cdot T(0):
r''(0)\cdot T(0)=(-1,0,-1)\cdot(0,1,0)=0.
Ou seja, r''(0) já é ortogonal a T(0), portanto podemos simplesmente normalizar r''(0).
Norma de r''(0):
\|r''(0)\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Logo
N(0)=\frac{r''(0)}{\sqrt{2}}=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;0,\;-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Didática extra: o sinal de N é escolhido conforme T'; aqui r''(0) aponta para ( -1,0,-1) então N(0) tem esse sentido. Em provas, essa é a forma correta — não há outro sinal arbitrário se você seguir T'.

Passo 7

Calcular o binormal B(0).
Definição: o binormal é o produto vetorial de T e N,
B(t)=T(t)\times N(t),
e é unitário quando T e N são unitários e ortogonais.
Calcule B(0)=T(0)\times N(0). Com T(0)=(0,1,0) e N(0)=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}), fazemos o produto vetorial (explico como calcular: determinante da matriz com vetores canônicos):
B(0)=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;0,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).
Verificação rápida: \|B(0)\|=\sqrt{\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}}=1 e B(0) é ortogonal a T(0) e N(0), como deve ser.]

Passo 8

Encontrar a equação do plano normal em r(0)=(0,0,1).
Definição: o plano normal em um ponto é o plano que passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor tangente T. Logo um vetor normal ao plano é T(0). A equação do plano com normal n passando por r_0 é
n\cdot\bigl(x-r_0\bigr)=0,
onde x=(x,y,z) é um ponto genérico.
Aqui n=T(0)=(0,1,0) e r_0=(0,0,1). Então
(0,1,0)\cdot(x-0,y-0,z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.
Portanto o plano normal é \,y=0.
Comentário: isso faz sentido geométrico: no ponto dado a tangente é na direção do eixo y, então o plano perpendicular à tangente é o plano y=0.

Passo 9

Encontrar a equação do plano osculador em r(0)=(0,0,1).
Definição: o plano osculador é o plano que contém T e N (a melhor aproximação plano da curva naquele ponto). O vetor normal ao plano osculador é o binormal B(0). Assim a equação é
B(0)\cdot(x-r_0)=0.
Com B(0)=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) e r_0=(0,0,1), obtemos
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\cdot(x,y,z-1)=0.
Multiplicando por \sqrt{2} para simplificar:
-\;x\;+\;z-1=0 \quad\Longrightarrow\quad z-x-1=0.
Logo o plano osculador tem equação \,z-x-1=0, ou equivalentemente z=x+1.

Resposta

T(0)=\bigl(0,\,1,\,0\bigr)
N(0)=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)
B(0)=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)
Plano normal: y=0
Plano osculador: z-x-1=0

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