Calcule o valor da integral abaixo.
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{3}^{6}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx
Estamos lidando com um polinômio, então vamos usar a regra do poder para integrar termo a termo:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplique a regra do poder em cada termo de x^{2}-2x. A antiderivada é
F(x) = \int\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx - 2\int x\,dx = \frac{x^{3}}{3} - 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites x=6 e x=3:
F(6) = \frac{6^{3}}{3} - 6^{2} = \frac{216}{3} - 36 = 72 - 36 = 36,
F(3) = \frac{3^{3}}{3} - 3^{2} = \frac{27}{3} - 9 = 9 - 9 = 0.

Passo 4

A integral definida é a diferença F(6)-F(3):
\int_{3}^{6}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx = 36 - 0 = 36.

Resposta

O valor da integral é \displaystyle 36.

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