Exercicío 1. Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções nos itens abaixo.
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=e^x^2+y^2-4x e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo envolve derivadas parciais para achar pontos críticos e teste do Hessiano para classificar esses pontos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, definimos g(x,y)=x^2+y^2-4x de forma que f(x,y)=e^g(x,y). Como e^g(x,y)>0 nunca anula derivadas, basta resolver nabla g(x,y)=0. Calculamos as derivadas:
partial gpartial x=2x-4, partial gpartial y=2y
Igualando a zero temos 2x-4=0 x=2 e 2y=0 y=0. Assim, o único ponto crítico é (2,0).

Passo 3

Para classificar o ponto (2,0), calculamos o Hessiano de g:
Hg(x,y)=2 & 0[6pt]0 & 2
No ponto crítico isso não muda, e como f=e^g>0, o Hessiano de f em (2,0) é e^g(2,0),Hg(2,0), que é uma matriz 2times2 com autovalores positivos 2e^-4.

Passo 4

Como o Hessiano em (2,0) é definido positivo (ambos autovalores positivos), concluímos que (2,0) é um mínimo local. Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

A função tem apenas um mínimo local em (2,0) com valor f(2,0)=e^{-4}. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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