Exercicío 1. Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções nos itens abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo envolve derivadas parciais para achar pontos críticos e teste do Hessiano para classificar esses pontos.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, definimos
de forma que
. Como
nunca anula derivadas, basta resolver
. Calculamos as derivadas:
Igualando a zero temos
Passo 3
Para classificar o ponto
, calculamos o Hessiano de
:
No ponto crítico isso não muda, e como
Passo 4
Como o Hessiano em
é definido positivo (ambos autovalores positivos), concluímos que
é um mínimo local. Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Resposta
A função tem apenas um mínimo local em (2,0) com valor f(2,0)=e^{-4}. Não há máximos locais nem pontos de sela.