Exercicío 1. Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções nos itens abaixo.
f(x, y)=x^2+2 x y

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de f(x,y)=x^2+2xy. O conteúdo é extrema locais de funções de duas variáveis, para isso precisamos usar gradiente para achar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. O gradiente é dado por
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)=(2x+2y,,2x)
Então resolvemos o sistema
2x+2y=0,2x=0
Da segunda equação vem x=0 e, inserindo na primeira, 2·0+2y=0 ⇒ y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora vamos formar a matriz Hessiana H das segundas derivadas para classificar (0,0).
H=fxx&fxyfyx&fyy=2&22&0
Para saber se H é definida positiva, negativa ou indefinida, podemos olhar os autovalores. O polinômio característico é
detl(H-lambda Ir)=det2-lambda&22&-lambda=(2-lambda)(-lambda)-4=lambda^2-2lambda-4
As raízes são
lambda=2pmraiz4+162=1pmraiz5,
ou seja, um autovalor positivo (1+√5) e outro negativo (1−√5). Como há sinais diferentes, H é indefinida.

Passo 4

Uma matriz Hessiana indefinida num ponto crítico significa que esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função não tem máximos nem mínimos locais. O único ponto crítico é (0,0) e ele é ponto de sela.

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