Exercicío 1. Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções nos itens abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de f(x,y)=x^2+2xy. O conteúdo é extrema locais de funções de duas variáveis, para isso precisamos usar gradiente para achar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. O gradiente é dado por
Então resolvemos o sistema
Da segunda equação vem x=0 e, inserindo na primeira, 2·0+2y=0 ⇒ y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).
Passo 3
Agora vamos formar a matriz Hessiana H das segundas derivadas para classificar (0,0).
Para saber se H é definida positiva, negativa ou indefinida, podemos olhar os autovalores. O polinômio característico é
As raízes são
ou seja, um autovalor positivo (1+√5) e outro negativo (1−√5). Como há sinais diferentes, H é indefinida.
Passo 4
Uma matriz Hessiana indefinida num ponto crítico significa que esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função não tem máximos nem mínimos locais. O único ponto crítico é (0,0) e ele é ponto de sela.