Exercicío 2. Nos itens abaixo, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.
f(x, y)=4 x^2+3 y^2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x=0, y=0, y+2 x=2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=4x²+3y² e o domínio D é o triângulo fechado no primeiro quadrante limitado por x=0, y=0 e y+2x=2. O conteúdo é otimização em domínios fechados e limitados, e vamos precisar achar pontos críticos internos e depois analisar cada aresta.

Passo 2

Calculamos o gradiente ∇f(x,y)=(8x,6y) e igualamos a zero para achar pontos críticos internos. Isso dá o sistema 8x=0, 6y=0, logo o único ponto crítico interno é (0,0), que pertence a D.

Passo 3

Avaliamos f em (0,0):
f(0,0)=4cdot0^2+3cdot0^2=0

Passo 4

Analisamos a aresta x=0 com y variando de 0 a 2 (pois em x=0, y+2·0=2 => y≤2). Nela f(0,y)=3y². Em [0,2], o máximo ocorre em y=2 e o mínimo em y=0. Assim f(0,2)=12 e f(0,0)=0.

Passo 5

Analisamos a aresta y=0 com x variando de 0 a 1 (pois em y=0, 0+2x=2 => x≤1). Nela f(x,0)=4x². Em [0,1], o máximo ocorre em x=1 e o mínimo em x=0. Assim f(1,0)=4 e f(0,0)=0.

Passo 6

Analisamos a aresta y+2x=2, ou y=2−2x, com 0≤x≤1. Substituindo em f:
g(x)=4x^2+3(2-2x)^2=16x^2-24x+12
Derivando temos g’(x)=32x-24=0 ⇒ x=3/4, logo y=2-2·(3/4)=1/2. Avaliando nos pontos x=0, x=3/4, x=1: f(0,2)=12, f(3/4,1/2)=3, f(1,0)=4.

Passo 7

Comparação final dos valores: em (0,0) f=0; em (1,0) f=4; em (3/4,1/2) f=3; em (0,2) f=12. Logo o mínimo absoluto vale 0 em (0,0) e o máximo absoluto vale 12 em (0,2).

Resposta

Mínimo absoluto: f(0,0)=0;
Máximo absoluto: f(0,2)=12.

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