Questão 1. Considere a equação diferencial e a função y=F(t, y) dada: y^prime prime+y=sec t, y=cos t ln (cos t)+t sen t
© (0.5 pt) Determine o intervalo I em que a solução é válida.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o intervalo onde a solução
y=cos tln(cos t)+tsin t
de
y''+y=sec t
é válida. O conteúdo aqui é análise de domínio de função envolvendo sec t e ln(cos t).

Passo 2

Para a EDO estar bem definida, o termo sec t não pode ter descontinuidade. Sabemos que sec t=1/cos t, então precisamos de
cos tneq0.
Isso elimina todos os pontos t=pi/2+kpi.

Passo 3

O segundo requisito vem da solução que tem ln(cos t). Para o logaritmo natural estar definido em números reais, precisamos de
cos t>0.
Ou seja, t deve ficar em cada intervalo onde o cosseno seja estritamente positivo.

Passo 4

A interseção entre “ cos tneq0” e “ cos t>0” nos dá exatamente os intervalos de um período onde o cosseno é positivo. No ciclo principal, isso é
-tfracpi2,tfracpi2.

Resposta

I = (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})

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