Exercício 5. Determine a trajetória ortogonal à família de curvas dada por
. Faça esboço dos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a trajetória ortogonal à família de curvas dada por
. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para entender como as curvas se comportam e como encontrar as trajetórias que cruzam essas curvas formando ângulos retos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos:
. Essa é a equação de um círculo com centro no ponto
e raio
. Ou seja, para cada valor de
, temos um círculo diferente.
Passo 3
Para encontrar a trajetória ortogonal, precisamos eliminar o parâmetro
da equação. Vamos rearranjar a equação:
Expandindo
:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar essa equação em relação a
para encontrar
, que é a inclinação da tangente à curva da família:
Derivando termo a termo:
Mas sabemos que
, então podemos isolar
:
Substituindo de volta na equação derivada:
Simplificando:
Multiplicando tudo por
para se livrar do denominador:
Rearranjando os termos para isolar
:
Então,
Passo 5
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as derivadas das trajetórias ortogonais sejam os negativos dos recíprocos das derivadas das curvas originais. Ou seja:
Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais é:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos simplificar e separar as variáveis:
Vamos rearranjar:
Essa é uma equação homogênea, então podemos usar a substituição
. Vamos fazer isso:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Expandindo:
Rearranjando:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
Substituindo
:
Simplificando:
Removendo os logaritmos:
Onde
. Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando por
:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos considerar
, onde
é uma constante, resultando em:
E assim, temos a família de trajetórias ortogonais.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de círculos
são dadas por
, onde
é uma constante. O esboço gráfico mostra que essas trajetórias são curvas que cruzam os círculos originais formando ângulos de 90 graus.