Exercício 5. Determine a trajetória ortogonal à família de curvas dada por x^2+(y-c)^2=c^2. Faça esboço dos gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a trajetória ortogonal à família de curvas dada por x^2 + (y - c)^2 = c^2 . Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para entender como as curvas se comportam e como encontrar as trajetórias que cruzam essas curvas formando ângulos retos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos: x^2 + (y - c)^2 = c^2 . Essa é a equação de um círculo com centro no ponto (0, c) e raio c . Ou seja, para cada valor de c , temos um círculo diferente.

Passo 3

Para encontrar a trajetória ortogonal, precisamos eliminar o parâmetro c da equação. Vamos rearranjar a equação:
x^2 + (y - c)^2 = c^2
Expandindo (y - c)^2 :
x^2 + y^2 - 2yc + c^2 = c^2
Simplificando:
x^2 + y^2 - 2yc = 0
Então, temos:
x^2 + y^2 = 2yc

Passo 4

Agora, vamos derivar essa equação em relação a x para encontrar dydx , que é a inclinação da tangente à curva da família:
ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(2yc)
Derivando termo a termo:
2x + 2y dydx = 2c dydx
Mas sabemos que x^2 + y^2 = 2yc , então podemos isolar c :
c = x^2 + y^22y
Substituindo de volta na equação derivada:
2x + 2y dydx = 2 ( x^2 + y^22y ) dydx
Simplificando:
2x + 2y dydx = x^2 + y^2y dydx
Multiplicando tudo por y para se livrar do denominador:
2xy + 2y^2 dydx = (x^2 + y^2) dydx
Rearranjando os termos para isolar dydx :
2xy = (x^2 + y^2 - 2y^2) dydx
2xy = (x^2 - y^2) dydx
Então,
dydx = 2xyx^2 - y^2

Passo 5

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as derivadas das trajetórias ortogonais sejam os negativos dos recíprocos das derivadas das curvas originais. Ou seja:
( dydx )ortogonal = -1dydx = -x^2 - y^22xy
Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais é:
dydx = -x^2 - y^22xy

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos simplificar e separar as variáveis:
dydx = -x^2 - y^22xy = -x2y + y2x
Vamos rearranjar:
2xy dydx = -x^2 + y^2
Essa é uma equação homogênea, então podemos usar a substituição v = yx . Vamos fazer isso:
y = vx implies dydx = v + x dvdx
Substituindo na equação:
2x(vx)(v + x dvdx) = -x^2 + (vx)^2
Simplificando:
2v x^2 (v + x dvdx) = -x^2 + v^2x^2
Dividindo ambos os lados por x^2 :
2v(v + x dvdx) = -1 + v^2
Expandindo:
2v^2 + 2v x dvdx = -1 + v^2
Rearranjando:
2v x dvdx = -1 - v^2
Separando as variáveis:
2v-1 - v^2 dv = 1x dx
Integrando ambos os lados:
integral -2v1 + v^2 dv = integral 1x dx
A integral do lado esquerdo:
- ln(1 + v^2) = ln|x| + C
Substituindo v = yx :
- ln(1 + (yx)^2) = ln|x| + C
Simplificando:
ln(11 + (yx)^2) = ln|x| + C
Removendo os logaritmos:
11 + (yx)^2 = Kx
Onde K = e^C . Multiplicando ambos os lados por 1 + (yx)^2 :
1 = Kx (1 + y^2x^2)
Multiplicando por x^2 :
x^2 = Kx(x^2 + y^2)
Podemos reescrever isso como:
x^2 = Kx^3 + Kx y^2
Para simplificar, podemos considerar K = 1A , onde A é uma constante, resultando em:
A x^2 = x^3 + x y^2
E assim, temos a família de trajetórias ortogonais.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de círculos x^2 + (y - c)^2 = c^2 são dadas por x^2 = A x^3 + A x y^2 , onde A é uma constante. O esboço gráfico mostra que essas trajetórias são curvas que cruzam os círculos originais formando ângulos de 90 graus.

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