Exercício 5. Sejam T, S \in \mathcal{L}(V) tais que S \circ T=T \circ S. Mostre que:
(T-S)^{2}=T^{2}-2(T \circ S)+S^{2}

Passo 1

O enunciado dá: sejam T,S\in\mathcal{L}(V) (isto é, operadores lineares em um espaço vetorial V) e sabe-se que S\circ T = T\circ S. Pede-se para mostrar a identidade
(T-S)^{2}=T^{2}-2(T\circ S)+S^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
\;1) T e S são operadores lineares (portanto as operações soma, multiplicação por escalar e composição obedecem às propriedades usuais de linearidade);\n \;2) S\circ T=T\circ S (os operadores comutam);\n \;3) por convensão (T-S)^{2}=(T-S)\circ(T-S) e T^{2}=T\circ T, S^{2}=S\circ S.

Passo 2

Lembretes/leis que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Distributividade da composição em relação à soma: para quaisquer operadores A,B,C vale
(A+B)\circ C = A\circ C + B\circ C
e
C\circ (A+B) = C\circ A + C\circ B.
Isto é porque aplicar A+B a um vetor é aplicar A e B e somar os resultados; compor depois com C mantém a soma — é a mesma ideia de distribuir multiplicação sobre adição, só que para composição de aplicações lineares.
  • Multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) e operadores A,B
(\alpha A)\circ B = \alpha (A\circ B) = A\circ (\alpha B).
Em particular, -S significa (-1)S e -1 atua como escalar.
  • Definição de potências: T^{2}=T\circ T, S^{2}=S\circ S.
    Essas propriedades vêm diretamente da linearidade das aplicações.

Passo 3

Começamos expandindo (T-S)^{2} pela definição:
(T-S)^{2} = (T-S)\circ (T-S).
Usando a distributividade da composição na forma (A-B)\circ C = A\circ C - B\circ C obtemos
(T-S)\circ (T-S) = T\circ (T-S) - S\circ (T-S).

Passo 4

Agora expandimos cada termo usando a distributividade na outra posição:
T\circ (T-S) = T\circ T - T\circ S
e
S\circ (T-S) = S\circ T - S\circ S.
Substituindo essas expressões em (T-S)\circ(T-S) obtemos
(T-S)^{2} = \bigl(T\circ T - T\circ S\bigr) - \bigl(S\circ T - S\circ S\bigr).
Simplificando os sinais:
(T-S)^{2} = T\circ T - T\circ S - S\circ T + S\circ S.

Passo 5

Usamos a hipótese de comutatividade S\circ T = T\circ S. Substituindo S\circ T por T\circ S na expressão do passo anterior:
(T-S)^{2} = T\circ T - T\circ S - T\circ S + S\circ S.
Agora somamos os dois termos idênticos e com sinal negativo:
- T\circ S - T\circ S = -2\bigl(T\circ S\bigr),
onde 2 é o escalar que multiplica o operador T\circ S (pela propriedade de multiplicação por escalar mostrada antes). Assim:
(T-S)^{2} = T\circ T - 2\bigl(T\circ S\bigr) + S\circ S.

Passo 6

Reconhecendo as notações de potência:
T\circ T = T^{2}\qquad\text{e}\qquad S\circ S = S^{2},
obtemos finalmente
(T-S)^{2}=T^{2}-2(T\circ S)+S^{2},
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

(T-S)^{2}=T^{2}-2(T\circ S)+S^{2}

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