Exercício 5. Sejam
tais que
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá: sejam
(isto é, operadores lineares em um espaço vetorial
) e sabe-se que
. Pede-se para mostrar a identidade
Informações relevantes fornecidas:
e
são operadores lineares (portanto as operações soma, multiplicação por escalar e composição obedecem às propriedades usuais de linearidade);\n
(os operadores comutam);\n
por convensão
e
,
.
Passo 2
Lembretes/leis que vamos usar (explicados de forma didática):
- Distributividade da composição em relação à soma: para quaisquer operadores
vale
e
Isto é porque aplicar
a um vetor é aplicar
e
e somar os resultados; compor depois com
mantém a soma — é a mesma ideia de distribuir multiplicação sobre adição, só que para composição de aplicações lineares.
- Multiplicação por escalar: para
(ou ) e operadores
Em particular,
significa
e
atua como escalar.
- Definição de potências:
, .
Essas propriedades vêm diretamente da linearidade das aplicações.
Passo 3
Começamos expandindo
pela definição:
Usando a distributividade da composição na forma
obtemos
Passo 4
Agora expandimos cada termo usando a distributividade na outra posição:
e
Substituindo essas expressões em
obtemos
Simplificando os sinais:
Passo 5
Usamos a hipótese de comutatividade
. Substituindo
por
na expressão do passo anterior:
Agora somamos os dois termos idênticos e com sinal negativo:
onde
é o escalar que multiplica o operador
(pela propriedade de multiplicação por escalar mostrada antes). Assim:
Passo 6
Reconhecendo as notações de potência:
obtemos finalmente
que é exatamente a identidade pedida.