Exercício 6. Sejam T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) e S \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) definidas por
T(x, y)=(0, x, x-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \quad e \quad S(x, y, z)=(x-y, x+2 y+3 z), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
Verifique se existem as composições T \circ S e S \circ T. Em caso afirmativo, encontre-as.

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares e pede para verificar se as composições T\circ S e S\circ T existem e, se existirem, encontrá‑las. Informações fornecidas:
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y)=(0,x,x-y).
S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad S(x,y,z)=(x-y,\;x+2y+3z).
Perguntas do enunciado:
  1. A composição T\circ S existe? Caso positivo, qual é a fórmula de T\circ S?\n
  2. A composição S\circ T existe? Caso positivo, qual é a fórmula de S\circ T?

Passo 2

Regra para existência de composição de aplicações: dadas A:U\to V e B:W\to U, a composição A\circ B existe (é bem definida) porque B tem imagem em U e A atua em U. Ou seja, para A\circ B existir precisamos que o codomínio de B seja igual (ou pelo menos contenha) o domínio de A. Vou aplicar essa regra aos pares dados:
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.
  • Para T\circ S aplicamos primeiro S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e depois T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3. Como o codomínio de S é \mathbb{R}^2, que é exatamente o domínio de T, a composição T\circ S existe e será uma aplicação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3.
  • Para S\circ T aplicamos primeiro T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e depois S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2. Como o codomínio de T é \mathbb{R}^3, que é exatamente o domínio de S, a composição S\circ T também existe e será uma aplicação de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2.
Conclusão: ambas as composições existem.

Passo 3

Agora vamos calcular T\circ S. Lembre que (T\circ S)(v)=T\big(S(v)\big). Pegamos um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, aplicamos S e em seguida T.
Primeiro:
S(x,y,z) = (x-y,\;x+2y+3z).
Denoto temporariamente u=x-y e v=x+2y+3z, então S(x,y,z)=(u,v)\in\mathbb{R}^2.
Agora aplico T em (u,v):
T(u,v) = (0,\;u,\;u-v).

Passo 4

Substituo u e v em termos de x,y,z. Lembre que u=x-y e v=x+2y+3z, então
u-v = (x-y) - (x+2y+3z) = x-y-x-2y-3z = -3y-3z.
Portanto
(T\circ S)(x,y,z) = \big(0,\;x-y,\;-3y-3z\big).
Uma forma mais compacta do terceiro componente é -3(y+z), mas deixei expandido para ficar claro.

Passo 5

Agora calculamos S\circ T. Pegamos (x,y)\in\mathbb{R}^2, aplicamos T e depois S.
Primeiro:
T(x,y) = (0,\;x,\;x-y).
Denoto a=0, b=x, c=x-y, então T(x,y)=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3.
Agora aplico S em (a,b,c):
S(a,b,c) = (a-b,\;a+2b+3c).

Passo 6

Substituo a=0, b=x, c=x-y nas expressões:
a-b = 0 - x = -x,
a+2b+3c = 0 + 2x + 3(x-y) = 2x + 3x - 3y = 5x - 3y.
Logo
(S\circ T)(x,y) = \big(-x,\;5x-3y\big).

Passo 7

Para reforçar a compreensão: podemos representar T e S por matrizes nas bases canônicas e ver as composições como produtos de matrizes. Isso confirma os cálculos e é útil na prova.
Matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 (colunas = imagens dos vetores da base de \mathbb{R}^2):
[T] = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Matriz de S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 (colunas = imagens dos vetores da base de \mathbb{R}^3):
[S] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Produto para T\circ S: [T\circ S] = [T]\,[S], que dá
[T][S] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix},
o que corresponde à aplicação (x,y,z)\mapsto\big(0,\;x-y,\;-3y-3z\big).
Produto para S\circ T: [S\circ T] = [S]\,[T], que dá
[S][T] = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 5 & -3 \end{pmatrix},
o que corresponde à aplicação (x,y)\mapsto\big(-x,\;5x-3y\big). Assim os dois caminhos (substituição direta e produto de matrizes) coincidem.

Resposta

T\circ S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad (T\circ S)(x,y,z)=\big(0,\;x-y,\;-3y-3z\big).\n
S\circ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad (S\circ T)(x,y)=\big(-x,\;5x-3y\big).

Exercícios relacionados