Exercício 6. Sejam T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) e S \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) definidas por T(x, y)=(0, x, x-y), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \quad e \quad S(x, y, z)=(x-y, x+2 y+3 z), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
Verifique se existem as composições T \circ S e S \circ T. Em caso afirmativo, encontre-as.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares e pede para verificar se as composições T\circ S e S\circ T existem e, se existirem, encontrá‑las. Informações fornecidas:
A composição T\circ S existe? Caso positivo, qual é a fórmula de T\circ S?\n
A composição S\circ T existe? Caso positivo, qual é a fórmula de S\circ T?
Passo 2
Regra para existência de composição de aplicações: dadas A:U\to V e B:W\to U, a composição A\circ B existe (é bem definida) porque B tem imagem em U e A atua em U. Ou seja, para A\circ B existir precisamos que o codomínio de B seja igual (ou pelo menos contenha) o domínio de A. Vou aplicar essa regra aos pares dados:
Para T\circ S aplicamos primeiro S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e depois T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3. Como o codomínio de S é \mathbb{R}^2, que é exatamente o domínio de T, a composição T\circ S existe e será uma aplicação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3.
Para S\circ T aplicamos primeiro T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e depois S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2. Como o codomínio de T é \mathbb{R}^3, que é exatamente o domínio de S, a composição S\circ T também existe e será uma aplicação de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2.
Conclusão: ambas as composições existem.
Passo 3
Agora vamos calcular T\circ S. Lembre que (T\circ S)(v)=T\big(S(v)\big). Pegamos um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, aplicamos S e em seguida T.
Primeiro:
S(x,y,z) = (x-y,\;x+2y+3z).
Denoto temporariamente u=x-y e v=x+2y+3z, então S(x,y,z)=(u,v)\in\mathbb{R}^2.
Agora aplico T em (u,v):
T(u,v) = (0,\;u,\;u-v).
Passo 4
Substituo u e v em termos de x,y,z. Lembre que u=x-y e v=x+2y+3z, então
u-v = (x-y) - (x+2y+3z) = x-y-x-2y-3z = -3y-3z.
Portanto
(T\circ S)(x,y,z) = \big(0,\;x-y,\;-3y-3z\big).
Uma forma mais compacta do terceiro componente é -3(y+z), mas deixei expandido para ficar claro.
Passo 5
Agora calculamos S\circ T. Pegamos (x,y)\in\mathbb{R}^2, aplicamos T e depois S.
Primeiro:
T(x,y) = (0,\;x,\;x-y).
Denoto a=0, b=x, c=x-y, então T(x,y)=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3.
Para reforçar a compreensão: podemos representar T e S por matrizes nas bases canônicas e ver as composições como produtos de matrizes. Isso confirma os cálculos e é útil na prova.
Matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 (colunas = imagens dos vetores da base de \mathbb{R}^2):