Exercício 10 Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T: V \rightarrow W linear.
(a) Se \operatorname{dim} V>\operatorname{dim} W. Mostre que toda transformação linear T não é injetora.
(b) Prove que se \operatorname{dim} V<\operatorname{dim} W então T não pode ser sobrejetor.
(c) Se \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W, T é injetora se, e somente se, for sobrejetora.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita e pede para mostrar três fatos sobre injetividade e sobrejetividade quando comparamos \dim V e \dim W. O que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona dimensão de domínio, núcleo e imagem de T.

Passo 2

Enunciamos o Teorema da Dimensão para T:
\dim V = \dim\ker(T) + \dim\Im(T).
Além disso:
T é injetora \iff \ker(T)=\{0\} \iff \dim\ker(T)=0.
T é sobrejetora \iff \Im(T)=W \iff \dim\Im(T)=\dim W.

Passo 3

Para (a), suponha que \dim V>\dim W. Como \Im(T)\subseteq W, temos \r
\dim\Im(T)\le\dim W.\r
Pela fórmula da dimensão,\r
\dim\ker(T)=\dim V-\dim\Im(T)\;\ge\;\dim V-\dim W\;>\;0.\r
Como \dim\ker(T)>0, o núcleo não é trivial, logo T não é injetora.

Passo 4

Para (b), suponha que \dim V<\dim W. De novo, \dim\Im(T)\le\dim V, então\r
\dim\Im(T)\;<\;\dim W.\r
Isto significa \Im(T)\neq W, portanto T não é sobrejetora.

Passo 5

Para (c), suponha agora \dim V=\dim W. \r
– Se T é injetora, então \dim\ker(T)=0, de modo que \r
\dim\Im(T)=\dim V-\dim\ker(T)=\dim V=\dim W\r
e daí \Im(T)=W, ou seja, T é sobrejetora. \r
– Reciprocamente, se T é sobrejetora, então \dim\Im(T)=\dim W=\dim V, de modo que \r
\dim\ker(T)=\dim V-\dim\Im(T)=0,\r
logo \ker(T)=\{0\} e T é injetora.

Resposta

(a) Foi mostrado que \dim\ker(T)>0, então T não é injetora. \r
(b) Foi mostrado que \dim\Im(T)<\dim W, então T não é sobrejetora. \r
(c) Quando \dim V=\dim W, T é injetora se, e somente se, for sobrejetora.

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