Exercício 10 Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita e
linear.
(a) Se
. Mostre que toda transformação linear
não é injetora.
(b) Prove que se
então
não pode ser sobrejetor.
(c) Se
é injetora se, e somente se, for sobrejetora.
(a) Se
(b) Prove que se
(c) Se
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita e pede para mostrar três fatos sobre injetividade e sobrejetividade quando comparamos
e
. O que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona dimensão de domínio, núcleo e imagem de
.
Passo 2
Enunciamos o Teorema da Dimensão para
:
Além disso:
– é injetora
.
– é sobrejetora
.
–
–
Passo 3
Para (a), suponha que
. Como
, temos \r
Pela fórmula da dimensão,\r
Como
, o núcleo não é trivial, logo
não é injetora.
Passo 4
Para (b), suponha que
. De novo,
, então\r
Isto significa
, portanto
não é sobrejetora.
Passo 5
Para (c), suponha agora
. \r
– Se é injetora, então
, de modo que \r
– Se
e daí
, ou seja,
é sobrejetora. \r
– Reciprocamente, se é sobrejetora, então
, de modo que \r
– Reciprocamente, se
logo
e
é injetora.
Resposta
(a) Foi mostrado que
, então
não é injetora. \r
(b) Foi mostrado que , então
não é sobrejetora. \r
(c) Quando ,
é injetora se, e somente se, for sobrejetora.
(b) Foi mostrado que
(c) Quando