Exercício 8 Prove ou desprove.
Existe uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0,0)\}.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear \;T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
tal que \ker(T)=\{(0,0,0,0)\}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear T: V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim(V)=\dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im}\,T).
No nosso caso V=\mathbb{R}^4, logo \dim(V)=4. Se \ker(T)=\{0\}, então \dim(\ker T)=0
e portanto