Exercício 8 Prove ou desprove.
Existe uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0,0)\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
tal que
\ker(T)=\{(0,0,0,0)\}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear T: V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim(V)=\dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im}\,T).
No nosso caso V=\mathbb{R}^4, logo \dim(V)=4. Se \ker(T)=\{0\}, então
\dim(\ker T)=0
e portanto
4 = \underbrace{\dim(\ker T)}_{0} + \dim(\mathrm{Im}\,T) \quad\Longrightarrow\quad \dim(\mathrm{Im}\,T)=4.

Passo 3

Por outro lado, a imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3, então
\dim(\mathrm{Im}\,T)\le\dim(\mathbb{R}^3)=3.
Isso contradiz o resultado anterior de que \dim(\mathrm{Im}\,T)=4. Logo não é possível ter \ker(T)=\{0\}.

Resposta

Não existe transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} com \ker(T)=\{(0,0,0,0)\}.

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