- Exercício 4: Determine o valor esperado
para um processo geométrico onde a probabilidade de sucesso é 0,25 .
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor esperado
de um processo geométrico, sabendo que a probabilidade de sucesso é
. Informações dadas:
- Probabilidade de sucesso:
. - O enunciado indica a convenção em que
. Ou seja, estamos usando a versão da distribuição geométrica em que é o número de tentativas até o primeiro sucesso (valores possíveis ).
O que se quer: calcular numericamentepara .
Passo 2
Definição e fórmula probabilística da distribuição geométrica (convenção usada).
- Para a versão onde
é o número de tentativas até o primeiro sucesso, a probabilidade de é
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
é a probabilidade de fracasso numa tentativa. -
corresponde a fracassar nas primeiras tentativas e então ter sucesso na -ésima.
Passo 3
Definição do valor esperado para uma variável discreta.
- Por definição, o valor esperado de
é a soma ponderada dos valores possíveis por suas probabilidades:
Aqui isso vira
Vou agora calcular essa soma passo a passo.
Passo 4
Uso da série geométrica e sua derivada para avaliar a soma.
- Começo da série geométrica básica (válida para
):
- Diferencio ambos os lados em relação a
. No membro esquerdo, a derivada termo a termo dá:
- No membro direito, a derivada de
é . Portanto:
Passo 5
Aplicação com
.
- Na soma de
temos exatamente a forma . Então, tomando na identidade acima:
- Voltando à expressão de
:
Isso prova a fórmula geral
para a convenção usada.
Passo 6
Substituir
e calcular numericamente.
- Colocando
na fórmula :
- Calcule:
.
Passo 7
Interpretação intuitiva e verificação rápida.
- Significa que, em média, espera-se fazer
tentativas até obter o primeiro sucesso quando cada tentativa tem de chance de sucesso. - Um jeito rápido de lembrar: se
, então . Aqui então .