• Exercício 4: Determine o valor esperado E[X]=1 / p para um processo geométrico onde a probabilidade de sucesso é 0,25 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor esperado E[X] de um processo geométrico, sabendo que a probabilidade de sucesso é 0,25. Informações dadas:
  • Probabilidade de sucesso: p = 0,25.
  • O enunciado indica a convenção em que E[X]=\dfrac{1}{p}. Ou seja, estamos usando a versão da distribuição geométrica em que X é o número de tentativas até o primeiro sucesso (valores possíveis X=1,2,3,\dots).
    O que se quer: calcular numericamente E[X] para p=0,25.

Passo 2

Definição e fórmula probabilística da distribuição geométrica (convenção usada).
  • Para a versão onde X é o número de tentativas até o primeiro sucesso, a probabilidade de X=k é
P(X=k)= (1-p)^{k-1} p,\qquad k=1,2,3,\dots
Explicando cada símbolo:
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0,25).
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso numa tentativa.
  • (1-p)^{k-1} corresponde a fracassar nas k-1 primeiras tentativas e então ter sucesso na k-ésima.

Passo 3

Definição do valor esperado para uma variável discreta.
  • Por definição, o valor esperado de X é a soma ponderada dos valores possíveis por suas probabilidades:
E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k\,P(X=k).
Aqui isso vira
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,(1-p)^{k-1} p.
Vou agora calcular essa soma passo a passo.

Passo 4

Uso da série geométrica e sua derivada para avaliar a soma.
  • Começo da série geométrica básica (válida para |r|<1):
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}.
  • Diferencio ambos os lados em relação a r. No membro esquerdo, a derivada termo a termo dá:
\frac{d}{dr}\left(\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k-1}.
  • No membro direito, a derivada de \dfrac{1}{1-r} é \dfrac{1}{(1-r)^{2}}. Portanto:
\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}} \qquad\text{para }|r|<1.

Passo 5

Aplicação com r = 1-p.
  • Na soma de E[X] temos exatamente a forma \sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}. Então, tomando r=1-p na identidade acima:
\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1} = \frac{1}{\bigl(1-(1-p)\bigr)^{2}} = \frac{1}{p^{2}}.
  • Voltando à expressão de E[X]:
E[X] = p \cdot \sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1} = p \cdot \frac{1}{p^{2}} = \frac{1}{p}.
Isso prova a fórmula geral E[X]=\dfrac{1}{p} para a convenção usada.

Passo 6

Substituir p=0,25 e calcular numericamente.
  • Colocando p=\;0,25 na fórmula \dfrac{1}{p}:
E[X] = \frac{1}{0,25}.
  • Calcule: \dfrac{1}{0,25}=4.

Passo 7

Interpretação intuitiva e verificação rápida.
  • Significa que, em média, espera-se fazer 4 tentativas até obter o primeiro sucesso quando cada tentativa tem 25\% de chance de sucesso.
  • Um jeito rápido de lembrar: se p=\dfrac{1}{n}, então E[X]=n. Aqui p=\dfrac{1}{4} então E[X]=4.

Resposta

E[X]=4

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