- Exercício 1: Um dado é lançado repetidamente até que saia o número 6 pela primeira vez. Qual a probabilidade de isso ocorrer exatamente no
lançamento?
Passo 1
O enunciado nos diz: um dado honesto é lançado repetidamente até que saia o número 6 pela primeira vez. A pergunta é: qual a probabilidade de esse primeiro 6 ocorrer exatamente no
lançamento?
Informações dadas:
- Cada lançamento do dado é independente dos anteriores.
- A probabilidade de obter o número 6 em um único lançamento é
. - A probabilidade de não obter 6 em um lançamento é
. - Queremos a probabilidade de o primeiro sucesso (o primeiro 6) ocorrer no lançamento número
.
Passo 2
Vou explicar o raciocínio geral: para que o primeiro 6 ocorra exatamente no
lançamento, os três primeiros lançamentos devem ser “insucessos” (não-6) e o quarto lançamento deve ser um “sucesso” (6). Como os lançamentos são independentes, podemos multiplicar as probabilidades desses eventos sequenciais.
Conceito usado aqui (explicado de forma simples): eventos independentes são aqueles cujo resultado de um não altera a probabilidade do outro. Quando queremos que vários eventos independentes ocorram em sequência, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais. Ex.: se a probabilidade de um evento A acontecer é
e de B acontecer é
, e A e B são independentes, então a probabilidade de A e B ocorrerem é
.
Passo 3
Definimos:
-
como a probabilidade de sair 6 em um lançamento (sucesso). -
como a probabilidade de não sair 6 (falha) em um lançamento.
Queremos a sequência: falha, falha, falha, sucesso. Pela regra do produto para eventos independentes, a probabilidade dessa sequência é
Passo 4
Vamos usar a fórmula geral (que vale por exemplo em provas): a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente no
-ésimo ensaio é
onde
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio independente e
é a probabilidade de falha. Aqui queremos
.
Essa fórmula vem exatamente da mesma ideia: precisamos de
falhas seguidas e depois 1 sucesso, e multiplicamos as probabilidades por independência.
Passo 5
Agora aplicamos os números para
,
e
:
Passo 6
Faço as contas passo a passo, sem pular etapas:
Multiplicando por
:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida:
é aproximadamente
ou seja, cerca de
. Faz sentido: é razoavelmente provável que o primeiro 6 apareça nos primeiros lançamentos, mas não muito alto para o quarto lançamento especificamente.
Dica de prova: memorize a forma
ou raciocine sempre como “falhas até o último, e sucesso no último”, multiplicando probabilidades por independência — isso resolve a maioria desses problemas sem erro.