• Exercício 1: Um dado é lançado repetidamente até que saia o número 6 pela primeira vez. Qual a probabilidade de isso ocorrer exatamente no 4^{\circ} lançamento?

Passo 1

O enunciado nos diz: um dado honesto é lançado repetidamente até que saia o número 6 pela primeira vez. A pergunta é: qual a probabilidade de esse primeiro 6 ocorrer exatamente no 4^{\circ} lançamento?
Informações dadas:
  • Cada lançamento do dado é independente dos anteriores.
  • A probabilidade de obter o número 6 em um único lançamento é \dfrac{1}{6}.
  • A probabilidade de não obter 6 em um lançamento é \dfrac{5}{6}.
  • Queremos a probabilidade de o primeiro sucesso (o primeiro 6) ocorrer no lançamento número 4.

Passo 2

Vou explicar o raciocínio geral: para que o primeiro 6 ocorra exatamente no 4^{\circ} lançamento, os três primeiros lançamentos devem ser “insucessos” (não-6) e o quarto lançamento deve ser um “sucesso” (6). Como os lançamentos são independentes, podemos multiplicar as probabilidades desses eventos sequenciais.
Conceito usado aqui (explicado de forma simples): eventos independentes são aqueles cujo resultado de um não altera a probabilidade do outro. Quando queremos que vários eventos independentes ocorram em sequência, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais. Ex.: se a probabilidade de um evento A acontecer é P(A) e de B acontecer é P(B), e A e B são independentes, então a probabilidade de A e B ocorrerem é P(A)\cdot P(B).

Passo 3

Definimos:
  • \,p=\dfrac{1}{6}\, como a probabilidade de sair 6 em um lançamento (sucesso).
  • \,q=1-p=\dfrac{5}{6}\, como a probabilidade de não sair 6 (falha) em um lançamento.
Queremos a sequência: falha, falha, falha, sucesso. Pela regra do produto para eventos independentes, a probabilidade dessa sequência é
q\cdot q\cdot q\cdot p = q^{3}p.

Passo 4

Vamos usar a fórmula geral (que vale por exemplo em provas): a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente no n-ésimo ensaio é
P(N=n)=q^{\,n-1}p,
onde p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio independente e q=1-p é a probabilidade de falha. Aqui queremos n=4.
Essa fórmula vem exatamente da mesma ideia: precisamos de n-1 falhas seguidas e depois 1 sucesso, e multiplicamos as probabilidades por independência.

Passo 5

Agora aplicamos os números para n=4, p=\dfrac{1}{6} e q=\dfrac{5}{6}:
P(N=4)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}\cdot\dfrac{1}{6}.

Passo 6

Faço as contas passo a passo, sem pular etapas:
\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}=\dfrac{5^{3}}{6^{3}}=\dfrac{125}{216}.
Multiplicando por \dfrac{1}{6}:
\dfrac{125}{216}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{125}{216\cdot 6}=\dfrac{125}{1296}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: \dfrac{125}{1296} é aproximadamente
\dfrac{125}{1296}\approx 0,09645,
ou seja, cerca de 9{,}6\%. Faz sentido: é razoavelmente provável que o primeiro 6 apareça nos primeiros lançamentos, mas não muito alto para o quarto lançamento especificamente.
Dica de prova: memorize a forma q^{n-1}p ou raciocine sempre como “falhas até o último, e sucesso no último”, multiplicando probabilidades por independência — isso resolve a maioria desses problemas sem erro.

Resposta

\dfrac{125}{1296}

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