• Exercício 2: A probabilidade de um componente eletrônico falhar é de 0,05. Qual a probabilidade de a primeira falha ocorrer no 10^{\circ} componente testado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • A probabilidade de um componente falhar em um teste isolado é \,p=0,05.
  • Os testes são feitos sequencialmente em componentes diferentes e assumimos que os eventos de falha são independentes.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a primeira falha ocorra justamente no 10^{\circ} componente testado?

Passo 2

Entendimento do que significa “primeira falha no 10^{\circ} componente” (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Para que a primeira falha ocorra no 10^{\circ} teste, é necessário que nos primeiros 9 testes NÃO haja falhas e que no 10^{\circ} teste ocorra uma falha.
  • Chamo de \,q a probabilidade de um componente NÃO falhar num teste. Como \,p é a probabilidade de falha, temos \,q=1-p.
  • Como os testes são independentes, a probabilidade de uma sequência de eventos independentes acontecer é o produto das probabilidades individuais (regra do produto para eventos independentes). Portanto a probabilidade desejada é:
\Pr(\text{primeira falha no }10) = q^{9}\cdot p.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \,p: probabilidade de falha em um teste (dado: \,p=0,05).
    • \,q: probabilidade de NÃO falhar em um teste ( \,q=1-p).
    • O expoente 9 em q^{9} corresponde aos primeiros 9 testes todos sem falha.
    • O \cdot p corresponde ao 10^{\circ} teste ser uma falha.

Passo 3

Aplicando os números e calculando passo a passo (mostrando como calcular sem usar calculadora, com etapas claras).
  • Primeiro calcule \,q:
q = 1-p = 1-0,05 = 0,95.
  • A probabilidade pedida é
\Pr(\text{primeira falha no }10) = (0,95)^{9}\cdot 0,05.
  • Vamos calcular (0,95)^{9} em etapas:
    • (0,95)^{2} = 0,9025.
    • (0,95)^{4} = (0,95)^{2}\cdot(0,95)^{2} = 0,9025\cdot 0,9025 = 0,81450625.
    • (0,95)^{8} = (0,95)^{4}\cdot(0,95)^{4} = 0,81450625\cdot 0,81450625 \approx 0,663420431.
    • (0,95)^{9} = (0,95)^{8}\cdot 0,95 \approx 0,663420431\cdot 0,95 \approx 0,630249409.
  • Agora multiplico por \,p=0,05:
(0,95)^{9}\cdot 0,05 \approx 0,630249409\cdot 0,05 \approx 0,0315124705.
  • Arredondando de forma conveniente, por exemplo com 4 casas decimais:
\Pr(\text{primeira falha no }10) \approx 0,0315.

Passo 4

Interpretação rápida e dica para a prova
  • O resultado \approx 0,0315 significa cerca de 3,15\%. Ou seja, é relativamente raro a primeira falha só aparecer no 10^{\circ} teste quando p é pequeno.
  • Dica prática na prova: memorize a ideia básica e a fórmula geral para este tipo de questão — se p é a probabilidade de “sucesso” (aqui “falha”) e X é o número do primeiro sucesso, então
\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p.
Com isso você resolve o tipo de questão rapidamente.

Resposta

(0,95)^{9}\cdot 0,05 \approx 0,0315

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