• Exercício 1: Uma urna contém 10 bolas brancas e 5 pretas. Se retirarmos 3 bolas sem reposição, qual a probabilidade de todas serem brancas?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (coloquei os números em notação matemática):
  • Urna com \,10 bolas brancas e \,5 bolas pretas.
  • Retiram-se \,3 bolas sem reposição (ou seja, após tirar uma bola não a devolve à urna).
    O enunciado pergunta: qual a probabilidade de que todas as \,3 bolas retiradas sejam brancas?

Passo 2

Vou explicar um método combinatório, que é o mais direto quando o problema envolve “sem reposição” e a ordem de retirada não importa.
Conceito de combinação:
  • A quantidade de formas de escolher \,k objetos dentre \,n quando a ordem não importa é dada pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},
onde \,n! (fatorial) significa \,n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(1).
Aqui usamos combinações porque estamos apenas interessados em quais bolas saem, não na ordem em que saem.
No nosso problema:
  • Número total de formas de escolher \,3 bolas dentre as \,15 bolas da urna:
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo:
15\cdot14\cdot13=2730, \qquad 3\cdot2\cdot1=6, \qquad \binom{15}{3}=\frac{2730}{6}=455.
  • Número de formas favoráveis (escolher \,3 brancas dentre as \,10 brancas):
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Calcule:
10\cdot9\cdot8=720, \qquad \binom{10}{3}=\frac{720}{6}=120.
A probabilidade pedida (favoráveis dividido pelo total de possibilidades igualmente prováveis) é
P=\frac{\binom{10}{3}}{\binom{15}{3}}=\frac{120}{455}.

Passo 3

Simplifico a fração \dfrac{120}{455}. Primeiro encontro um divisor comum; ambos são divisíveis por \,5:
\frac{120}{455}=\frac{120\div5}{455\div5}=\frac{24}{91}.
Não há fator comum maior entre \,24 e \,91, então \dfrac{24}{91} é a forma irredutível exata.

Passo 4

Para reforçar a compreensão, mostro um método alternativo (multiplicando probabilidades condicionais em sequência). Porque não há reposição, as probabilidades mudam a cada retirada:
  • Probabilidade da 1ª bola ser branca: \dfrac{10}{15}.
  • Dado que a 1ª foi branca, restam \,9 brancas e \,14 bolas no total, então probabilidade da 2ª ser branca: \dfrac{9}{14}.
  • Dado que as duas primeiras foram brancas, restam \,8 brancas e \,13 no total, então probabilidade da 3ª ser branca: \dfrac{8}{13}.
Multiplicando:
P=\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13}.
Faço simplificações parciais para ficar mais claro:
\frac{10}{15}=\frac{2}{3},\quad\text{então}\quad P=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13}.ã
Multiplicando numeradores e denominadores:
P=\frac{2\cdot9\cdot8}{3\cdot14\cdot13}=\frac{144}{546}.
Agora simplifico dividindo por \,6:
\frac{144}{546}=\frac{24}{91},
que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método combinatório. Bom sinal — ambos os métodos coincidem.

Passo 5

Interpretação numérica e dica rápida:
  • Valor aproximado em decimal:
\frac{24}{91}\approx 0,2637\quad(\text{usar vírgula como separador}),í
ou seja cerca de 26,37\%.
  • Dica para prova: se a ordem não importa e não há reposição, pense em combinações; se preferir raciocínio passo a passo, use probabilidades condicionais multiplicadas. Ambos são rápidos e seguros.

Resposta

\dfrac{24}{91} 0,2637 (aprox. 26{,}37\%)

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