- Exercício 1: Uma urna contém 10 bolas brancas e 5 pretas. Se retirarmos 3 bolas sem reposição, qual a probabilidade de todas serem brancas?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (coloquei os números em notação matemática):
- Urna com
bolas brancas e bolas pretas. - Retiram-se
bolas sem reposição (ou seja, após tirar uma bola não a devolve à urna).
O enunciado pergunta: qual a probabilidade de que todas asbolas retiradas sejam brancas?
Passo 2
Vou explicar um método combinatório, que é o mais direto quando o problema envolve “sem reposição” e a ordem de retirada não importa.
Conceito de combinação:
- A quantidade de formas de escolher
objetos dentre quando a ordem não importa é dada pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial) significa
.
Aqui usamos combinações porque estamos apenas interessados em quais bolas saem, não na ordem em que saem.
Aqui usamos combinações porque estamos apenas interessados em quais bolas saem, não na ordem em que saem.
No nosso problema:
- Número total de formas de escolher
bolas dentre as bolas da urna:
Calcule passo a passo:
- Número de formas favoráveis (escolher
brancas dentre as brancas):
Calcule:
A probabilidade pedida (favoráveis dividido pelo total de possibilidades igualmente prováveis) é
Passo 3
Simplifico a fração
. Primeiro encontro um divisor comum; ambos são divisíveis por
:
Não há fator comum maior entre
e
, então
é a forma irredutível exata.
Passo 4
Para reforçar a compreensão, mostro um método alternativo (multiplicando probabilidades condicionais em sequência). Porque não há reposição, as probabilidades mudam a cada retirada:
- Probabilidade da 1ª bola ser branca:
. - Dado que a 1ª foi branca, restam
brancas e bolas no total, então probabilidade da 2ª ser branca: . - Dado que as duas primeiras foram brancas, restam
brancas e no total, então probabilidade da 3ª ser branca: .
Multiplicando:
Faço simplificações parciais para ficar mais claro:
Multiplicando numeradores e denominadores:
Agora simplifico dividindo por
:
que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método combinatório. Bom sinal — ambos os métodos coincidem.
Passo 5
Interpretação numérica e dica rápida:
- Valor aproximado em decimal:
ou seja cerca de
.
- Dica para prova: se a ordem não importa e não há reposição, pense em combinações; se preferir raciocínio passo a passo, use probabilidades condicionais multiplicadas. Ambos são rápidos e seguros.