Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{4}+x^{3}+2 x}{x^{3}+x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{4}+x^{3}+2x}{x^{3}+x-1}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito. Vamos comparar os graus dos polinômios e usar fatoração da maior potência de x.

Passo 2

Identificamos o grau do numerador como 4 e o grau do denominador como 3. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, fazemos uso da regra:
se \deg(\text{num})>\deg(\text{den}), então o limite (em módulo) é infinito, com sinal dado pelos coeficientes principais.

Passo 3

Para ver o sinal e o crescimento com mais clareza, fatoramos x^{3} de numerador e denominador:
\frac{x^{4}+x^{3}+2x}{x^{3}+x-1} =\frac{x^{3}\bigl(x+1+2/x^{2}\bigr)}{x^{3}\bigl(1+1/x^{2}-1/x^{3}\bigr)} =\frac{x+1+2/x^{2}}{1+1/x^{2}-1/x^{3}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, os termos 1/x, 1/x^{2}, 1/x^{3} tendem a 0. Logo
\frac{x+1+2/x^{2}}{1+1/x^{2}-1/x^{3}} \sim \frac{x}{1}=x,
e portanto o quociente cresce sem limite para +\infty.

Resposta

+\infty

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