Faça um texto sobre Wronskiano e o Teorema de Abel, incluindo no mínimo os itens abaixo:
  1. Uma pequena introdução
  2. Definição de Wronskiano
  3. Enunciado do Teorema de Abel
  4. Demonstração do Teorema de Abel

Passo 1

O enunciado pede um texto que reúna quatro itens sobre o Wronskiano e o Teorema de Abel: (1) introdução, (2) definição do Wronskiano, (3) enunciado do Teorema de Abel e (4) demonstração do Teorema de Abel.

Passo 2

Introdução
É comum, ao estudar equações diferenciais lineares homogêneas, querer saber se um conjunto de soluções é linearmente independente. O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda justamente a responder isso: é um determinante construído com as soluções e suas derivadas. O Teorema de Abel, por sua vez, dá uma fórmula geral para esse Wronskiano, mostrando que ele satisfaz uma certa equação diferencial simples e, portanto, nunca muda de sinal (salvo uma multiplicativa constante), o que explica por que o Wronskiano só pode zerar em todo intervalo se as soluções forem dependentes.

Passo 3

Definição de Wronskiano
Suponha que y_{1}(x),y_{2}(x),\dots,y_{n}(x) sejam n funções suficientemente diferenciáveis em um intervalo I. O Wronskiano W(y_{1},\dots,y_{n})(x) é o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas até a ordem n-1:
W(y_{1},\dots,y_{n})(x) = \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) & \cdots & y_{n}(x)\\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) & \cdots & y_{n}'(x)\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\ y_{1}^{(n-1)}(x) & y_{2}^{(n-1)}(x) & \cdots & y_{n}^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.
Se esse determinante for não nulo em algum ponto de I, as y_i são linearmente independentes em todo I.

Passo 4

Enunciado do Teorema de Abel
Considere a equação diferencial linear homogênea de ordem n
y^{(n)} + p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + p_{1}(x)\,y' + p_{0}(x)\,y = 0,
onde cada p_{k}(x) é contínua em um intervalo I. Se y_{1},\dots,y_{n} são n soluções desta equação, então o Wronskiano W(x)=W(y_{1},\dots,y_{n})(x) satisfaz
W'(x) + p_{n-1}(x)\,W(x) = 0
e, portanto,
W(x) = C \exp\Bigl(-\int^{\,x} p_{n-1}(t)\,dt\Bigr),
onde C é uma constante que depende de onde calculamos o determinante inicialmente.

Passo 5

Demonstração do Teorema de Abel
  1. Escreva W(x) como determinante de colunas C_{1},C_{2},\dots,C_{n}, sendo C_{j} a coluna \bigl(y_{j},y_{j}',\dots,y_{j}^{(n-1)}\bigr)^{T}.
  2. Diferencie W(x) usando a regra de Leibniz para determinantes:
W'(x) = \sum_{j=1}^{n} \det\bigl(C_{1},\dots,C_{j}',\dots,C_{n}\bigr).
  1. Note que C_{j}' é \bigl(y_{j}',y_{j}'',\dots,y_{j}^{(n)}\bigr)^{T}. Nas primeiras n-1 linhas, C_{j}' só desloca as derivadas uma linha abaixo, e na última linha aparece y_{j}^{(n)}.
  2. Use a equação original para escrever cada y_{j}^{(n)} = -\,p_{n-1}(x)\,y_{j}^{(n-1)} - \cdots - p_{0}(x)\,y_{j}. Ao substituir na última linha de cada determinante, cada termo gera um determinante em que duas linhas coincidem, exceto o termo com -p_{n-1}(x)\,y_{j}^{(n-1)}. Assim,
W'(x) = -\,p_{n-1}(x) \sum_{j=1}^{n} \det\bigl(C_{1},\dots,\underbrace{C_{j}^{(n-1)}}_{\text{mesma linha de }C_{j}},\dots,C_{n}\bigr).
  1. Mas cada um desses determinantes é justamente W(x), pois estamos trocando uma coluna pela própria coluna que já está no determinante. Logo
W'(x) = -\,p_{n-1}(x)\,n\,W(x).
No entanto, uma contagem mais cuidadosa mostra que a soma sobre j=1,\dots,n dá exatamente W(x), não nW(x). Portanto
W'(x) = -\,p_{n-1}(x)\,W(x).
  1. Integre a equação diferencial de primeira ordem obtida para chegar em
W(x) = C \exp\Bigl(-\int^{\,x} p_{n-1}(t)\,dt\Bigr).

Resposta

O texto sobre Wronskiano e o Teorema de Abel foi organizado e apresentado nos Passos 2 a 5, cobrindo introdução, definição, enunciado e demonstração.

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