Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim h 0 (a+h)^2-a^2h=2 alpha

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limhto0(a+h)^2-a^2h
Este é o quociente incremental da função f(x)=x^2 no ponto x=a. Para resolver, vamos usar álgebra elementar: expandir o quadrado, fatorar h e depois tomar o limite.

Passo 2

Começamos expandindo o numerador via a identidade (a+h)^2=a^2+2ah+h^2. Assim,
(a+h)^2-a^2 = l(a^2+2ah+h^2r) - a^2 =2ah+h^2

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
(a+h)^2-a^2h =2ah+h^2h
Agora fatoramos h no numerador:
2ah+h^2=h,(2a+h),
logo
2ah+h^2h =h,(2a+h)h =2a+h,
para todo hneq0.

Passo 4

Como a expressão simplificada é 2a+h, basta tomar o limite quando hto0:
limhto0(2a+h) =2a+0 =2a

Resposta

O limite existe e vale ,2a.

Exercícios relacionados