Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
ai j k bc k+ci j c=dj c

Passo 1

O enunciado apresenta a igualdade em notação de tensores
aijk,bck ;+; cijc ;=; djc
e pede para (1) verificar se faz sentido em termos de índices (somas e índices livres), (2) contar quantas grandezas tensoriais aparecem e (3) determinar a ordem (rank) de cada expressão.

Passo 2

No produto aijk,bck o índice k aparece repetido e, pela convenção de Einstein, há soma sobre k. Os índices que não se repetem em cada termo são os livres:
  • Em aijk,bck os livres são i,j,c.
  • Em cijc os livres são i,j,c.
  • Em djc os livres são j,c.

Passo 3

Para a igualdade fazer sentido, os índices livres de ambos os lados devem coincidir. À esquerda há (i,j,c) livres, mas à direita há apenas (j,c). O índice i não aparece em djc, gerando incompatibilidade. Logo, a equação não faz sentido.

Passo 4

As grandezas tensoriais envolvidas são quatro:
aijk, bck, cijc, djc

Passo 5

A ordem (rank) de cada uma delas é
ordem(aijk)=3, ordem(bck)=2, ordem(cijc)=3, ordem(djc)=2
O produto aijk,bck, após somar em k, resulta num tensor de ordem 3 (índices livres i,j,c).

Resposta

A equação não faz sentido devido à inconsistência no índice livre i. Há 4 grandezas envolvidas, e as ordens são:
a e c: ordem 3
b e d: ordem 2
– o produto aijkbck: ordem 3.

Exercícios relacionados