Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e pede para verificar (1) se faz sentido pela convenção de somatório de índices, (2) quantas grandezas (tensores) estão envolvidas e (3) a ordem de magnitude da parte
.
Passo 2
Na notação de tensores com convenção de Einstein, índice repetido implica soma. Aqui o índice
aparece duas vezes em
, então soma sobre
. Os índices que não se repetem numa mesma parcela são livres e determinam as componentes do resultado.
- Em
os índices livres são e . - Em
também são livres e .
Portanto o lado esquerdo define um tensore com componentes de ordem. No lado direito tem índices livres e . Como , os índices livres não batem, logo a equação não faz sentido.
Passo 3
As grandezas (tensores) envolvidas são quatro, todas de ordem 2:
,
,
e
.
Passo 4
Se cada índice varia de 1 até
, para calcular
fazemos, para cada par
(
pares), uma soma de
termos. Isso dá
operações. O termo
exige
, mas é desprezível diante de
.
Resposta
A equação não faz sentido (índices livres inconsistentes), envolve quatro tensores de segunda ordem e a multiplicação
tem complexidade
.