Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
ai j bk i+cj k=dj i

Passo 1

O enunciado fornece a expressão
ai j bk i+cj k=dj i
e pede para verificar (1) se faz sentido pela convenção de somatório de índices, (2) quantas grandezas (tensores) estão envolvidas e (3) a ordem de magnitude da parte ai jbk i.

Passo 2

Na notação de tensores com convenção de Einstein, índice repetido implica soma. Aqui o índice i aparece duas vezes em ai jbk i, então soma sobre i. Os índices que não se repetem numa mesma parcela são livres e determinam as componentes do resultado.
  • Em ai jbk i os índices livres são j e k.
  • Em cj k também são livres j e k.
    Portanto o lado esquerdo define um tensore com componentes de ordem (j,k). No lado direito dj i tem índices livres j e i. Como j,kneqj,i, os índices livres não batem, logo a equação não faz sentido.

Passo 3

As grandezas (tensores) envolvidas são quatro, todas de ordem 2:
ai j, bk i, cj k e dj i.

Passo 4

Se cada índice varia de 1 até n, para calcular ai jbk i fazemos, para cada par (j,k) ( n^2 pares), uma soma de n termos. Isso dá O(n^3) operações. O termo +cj k exige O(n^2), mas é desprezível diante de O(n^3).

Resposta

A equação não faz sentido (índices livres inconsistentes), envolve quatro tensores de segunda ordem e a multiplicação aijbki tem complexidade O(n^3).

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