Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x -2 2 x^2+x-6x+2=-7

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto -22x^2+x-6x+2
Esse é um caso clássico de limite que gera indeterminação do tipo tfrac00, pois ao substituir x=-2 no numerador e denominador obtemos zero em ambos. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação de frações.

Passo 2

Fatormos o polinômio do numerador 2x^2+x-6. Procuramos raízes inteiras ou racionais de 2x^2+x-6=0. Testando x=-2 vemos que funciona, logo (x+2) é fator. Fazendo divisão ou agrupamento:
2x^2+x-6 = (2x-3)(x+2)

Passo 3

Substituímos essa fatoração na expressão do limite:
2x^2+x-6x+2 = (2x-3)(x+2)x+2
Para xneq -2, o fator (x+2) cancela, ficando
2x^2+x-6x+2 = 2x-3

Passo 4

Agora a função 2x-3 é contínua em todo R. Portanto,
limxto -22x^2+x-6x+2 = limxto -2(2x-3) = 2cdot(-2)-3 = -4-3 = -7

Resposta

-7

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