Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x 1 raiz[4]x-1raiz[6]x-1=32

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1raiz[4]x-1raiz[6]x-1
Note que ao substituir x=1 obtemos a forma tfrac00, então precisamos de um método para eliminar essa indeterminação. Vamos usar uma substituição que “remova” os radicais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
x = t^12
Quando xto1, temos tto1. Além disso,
raiz[4]x = x^tfrac14 = (t^12)^tfrac14 = t^3, raiz[6]x = x^tfrac16 = (t^12)^tfrac16 = t^2
Logo o limite vira
limtto1t^3-1t^2-1

Passo 3

Para resolver
limtto1t^3-1t^2-1,
fatoramos numerador e denominador:
t^3-1 = (t-1)(t^2+t+1), t^2-1 = (t-1)(t+1)
Cancelando o fator comum (t-1), obtemos
t^2+t+1t+1
Agora é só substituir t=1:
1^2+1+11+1 = 32

Passo 4

Concluímos que
limxto1raiz[4]x-1raiz[6]x-1 = 32

Resposta

32

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