Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x 64 raizx-8raiz[3]x-4=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 64raizx-8raiz[3]x-4
Note que ao substituir x=64 tanto o numerador raiz64-8=0 quanto o denominador raiz[3]64-4=0, caracterizando a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que transforme raízes em potências inteiras, permitindo fatorações.

Passo 2

Faça a substituição
u = raiz[6]x,
de modo que
raizx = u^3, raiz[3]x = u^2,
e quando xto64 temos
u = raiz[6]64 = 2
A expressão do limite fica então
limuto 2u^3 - 8u^2 - 4

Passo 3

Repare que no numerador temos uma diferença de cubos e no denominador uma diferença de quadrados. Fatorando:
u^3 - 8 = u^3 - 2^3 = (u-2)(u^2 + 2u + 4),
u^2 - 4 = u^2 - 2^2 = (u-2)(u+2)
Podemos cancelar o fator comum u-2, obtendo
u^3 - 8u^2 - 4 = (u-2)(u^2 + 2u + 4)(u-2)(u+2) = u^2 + 2u + 4u+2

Passo 4

Agora o limite caiu numa forma que pode ser avaliada diretamente em u=2:
limuto2u^2 + 2u + 4u+2 = 2^2 + 2cdot2 + 42+2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3

Resposta

3

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