Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x -2 raiz5 x^2+3 x+1=raiz15

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto -2raiz5x^2+3x+1
O conteúdo principal aqui é usar a continuidade de um polinômio e a continuidade da função raiz quadrada em pontos onde seu argumento é positivo, para então aplicar a composição de funções contínuas.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=5x^2+3x+1
Como todo polinômio é contínuo em R, temos
limxto -2g(x)=g(-2)
Calculando diretamente,
g(-2)=5cdot(-2)^2+3cdot(-2)+1=5cdot4-6+1=20-6+1=15
Além disso, g(-2)=15>0, ou seja, existe uma vizinhança de -2 em que g(x)>0 e a raiz quadrada está bem definida.

Passo 3

A função raiz,cdot, é contínua em todo ponto de seu domínio (0,infty). Como acabamos de ver, para x próximo de -2 temos g(x)>0. Logo, a composição
h(x)=raizg(x)
é contínua em x=-2, e vale
limxto -2h(x)=h(-2)=raizg(-2)=raiz15

Resposta

raiz15

Exercícios relacionados