Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x 0 raizx+2-raiz2x=raiz24

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0raizx+2-raiz2x
Esse limite tem a forma indeterminada 0/0, pois ao fazer x=0 o numerador vira raiz2-raiz2=0 e o denominador é 0. Vamos usar aqui a técnica de racionalização do numerador para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é raizx+2+raiz2. Assim escrevemos
raizx+2-raiz2x =l(raizx+2-raiz2r)l(raizx+2+raiz2r) xl(raizx+2+raiz2r)

Passo 3

No numerador temos a diferença de quadrados:
l(raizx+2r)^2 - l(raiz2r)^2 = (x+2) - 2 = x
Portanto a fração fica
xxl(raizx+2+raiz2r) =1raizx+2+raiz2

Passo 4

Agora o limite ficou livre de indeterminação:
limxto01raizx+2+raiz2 =1raiz0+2+raiz2 =12raiz2
E, reescrevendo 12raiz2=raiz24, concluímos o valor do limite.

Resposta

raiz24

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