Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
Passo 1
O enunciado apresenta a relação
e pede para verificar se ela faz sentido em notação de índices, quantas grandezas aparecem e qual a ordem de grandeza (isto é, a ordem tensorial ou número de componentes) de cada uma. Aqui usamos conceitos de tensores e da convenção de índices de Einstein.
Passo 2
Para saber se a equação é válida, observamos os índices: em
aparecem
; em
aparecem
; em
aparecem exatamente os mesmos quatro índices
, cada um duas vezes no total (uma vez em cada fator ou membro). Não há repetição de um índice mais de duas vezes nem aparecem índices sem correspondência. Logo, a expressão é consistente e descreve o produto externo (sem soma) de dois tensores de segunda ordem, gerando um tensor de quarta ordem.
Passo 3
As grandezas envolvidas são três:
– , tensor de segunda ordem (matriz);
– , outro tensor de segunda ordem;
– , tensor de quarta ordem resultante.
–
–
–
Passo 4
Cada tensor tem “ordem de grandeza” dada pelo número de índices (ordem tensorial) ou pelo número de componentes, supondo dimensão
:
– tem ordem 2 e
componentes;
– tem ordem 2 e
componentes;
– tem ordem 4 e
componentes.
–
–
–
Resposta
A equação faz sentido: são três grandezas, sendo dois tensores de ordem 2 e um tensor de ordem 4; em dimensão
, eles têm, respectivamente,
,
e
componentes.