Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
aj k bi p=cj k i p

Passo 1

O enunciado apresenta a relação
ajk;bip=cjk,i p
e pede para verificar se ela faz sentido em notação de índices, quantas grandezas aparecem e qual a ordem de grandeza (isto é, a ordem tensorial ou número de componentes) de cada uma. Aqui usamos conceitos de tensores e da convenção de índices de Einstein.

Passo 2

Para saber se a equação é válida, observamos os índices: em ajk aparecem j,k; em bip aparecem i,p; em cjkip aparecem exatamente os mesmos quatro índices j,k,i,p, cada um duas vezes no total (uma vez em cada fator ou membro). Não há repetição de um índice mais de duas vezes nem aparecem índices sem correspondência. Logo, a expressão é consistente e descreve o produto externo (sem soma) de dois tensores de segunda ordem, gerando um tensor de quarta ordem.

Passo 3

As grandezas envolvidas são três:
ajk, tensor de segunda ordem (matriz);
bip, outro tensor de segunda ordem;
cjk,i p, tensor de quarta ordem resultante.

Passo 4

Cada tensor tem “ordem de grandeza” dada pelo número de índices (ordem tensorial) ou pelo número de componentes, supondo dimensão n:
ajk tem ordem 2 e n^2 componentes;
bip tem ordem 2 e n^2 componentes;
cjk,i p tem ordem 4 e n^4 componentes.

Resposta

A equação faz sentido: são três grandezas, sendo dois tensores de ordem 2 e um tensor de ordem 4; em dimensão n, eles têm, respectivamente, n^2, n^2 e n^4 componentes.

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