Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
Passo 1
O enunciado apresenta a relação entre componentes de tensores
e pede para verificar se faz sentido em termos de índices (isto é, se a contracção está bem definida), indicar a quantidade de componentes de cada tensor e a ordem de grandeza das expressões envolvidas. O conteúdo é rotina de contração de tensores usando convenção de soma de Einstein.
Passo 2
Verificamos as repetições de índices:
e
aparecem exatamente duas vezes em cada monômio
, o que indica soma sobre esses índices;
e
aparecem uma vez em cada monômio, ficando livres no resultado. Logo a contração está consistente e define corretamente
Passo 3
Identificamos a ordem de cada tensor:
– é de ordem 3 (três índices).
– é de ordem 3.
– é de ordem 2 (dois índices).
–
–
–
Passo 4
Sejam as dimensões dos índices:
,
,
,
. Então o número de componentes de cada tensor é
Passo 5
Em cada componente
realizam-se duas somas, uma em
(com
termos) e outra em
(com
termos), totalizando
produtos somados. Se tomarmos dimensões iguais
, então
e cada
é soma de
termos de ordem unitária, daí a ordem de grandeza de
ser
se cada
e
for
.
Resposta
A equação faz sentido pelo esquema de contração
. Aqui
,
,
. Para dimensões iguais
, temos
,
, e cada
resulta de soma de
termos, de ordem de grandeza
.