Indique se as equações abaixo fazem sentido e a quantidade de grandezas representadas e a ordem de grandeza das expressões:
ai j k bp k j=ci p

Passo 1

O enunciado apresenta a relação entre componentes de tensores
aijk,bpkj=cip
e pede para verificar se faz sentido em termos de índices (isto é, se a contracção está bem definida), indicar a quantidade de componentes de cada tensor e a ordem de grandeza das expressões envolvidas. O conteúdo é rotina de contração de tensores usando convenção de soma de Einstein.

Passo 2

Verificamos as repetições de índices: j e k aparecem exatamente duas vezes em cada monômio aijkbpkj, o que indica soma sobre esses índices; i e p aparecem uma vez em cada monômio, ficando livres no resultado. Logo a contração está consistente e define corretamente
cip = sumjsumk aijk,bpkj

Passo 3

Identificamos a ordem de cada tensor:
aijk é de ordem 3 (três índices).
bpkj é de ordem 3.
cip é de ordem 2 (dois índices).

Passo 4

Sejam as dimensões dos índices: i=1,dots,I, j=1,dots,J, k=1,dots,K, p=1,dots,P. Então o número de componentes de cada tensor é
#a = Itimes Jtimes K, #b = Ptimes Ktimes J, #c = Itimes P

Passo 5

Em cada componente cip realizam-se duas somas, uma em j (com J termos) e outra em k (com K termos), totalizando Jtimes K produtos somados. Se tomarmos dimensões iguais I=J=K=P=n, então
#a = n^3, #b = n^3, #c = n^2,
e cada cip é soma de n^2 termos de ordem unitária, daí a ordem de grandeza de cip ser O(n^2) se cada aijk e bpkj for O(1).

Resposta

A equação faz sentido pelo esquema de contração sumj,kaijkbpkj=cip. Aqui
#a=IJK, #b=PKJ, #c=IP. Para dimensões iguais n, temos #a=#b=n^3, #c=n^2, e cada cip resulta de soma de n^2 termos, de ordem de grandeza O(n^2).

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