Exercício 3.6.1. Determine o valor médio de cada função no respectivo intervalo dado:
f(x)=(x-2)(x+3), [-3,2].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x)=(x-2)(x+3)
no intervalo [-3,2]. O conteúdo usado é o conceito de valor médio de uma função contínua, que é dado por
Vméd=1b-aintegrala^bf(x),dx é

Passo 2

Primeiro expandimos f(x):
f(x)=(x-2)(x+3)=x^2+x-6
Logo o valor médio é
Vméd=12-(-3)integral-3^2l(x^2+x-6r),dx =15integral-3^2(x^2+x-6),dx é

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de x^2+x-6:
F(x)=integrall(x^2+x-6r),dx =x^33+x^22-6x

Passo 4

Avaliaremos a integral definida pelo teorema fundamental do cálculo:
integral-3^2(x^2+x-6),dx =F(2)-F(-3)
Calculando separadamente,
F(2)=2^33+2^22-6cdot2 =83+2-12=-223,
F(-3)=(-3)^33+(-3)^22-6cdot(-3) =-9+4,5+18=272
Portanto
integral-3^2(x^2+x-6),dx =-223-272 =-1256

Passo 5

Finalmente, dividimos pelo comprimento do intervalo (2-(-3)=5):
Vméd =15cdotl(-1256r) =-12530 =-256 é

Resposta

-tfrac256

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