Exercício 4: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{3} y + 12x^{2} - 8y $. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e analisar o comportamento da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras e segundas, encontrar os pontos críticos e então determinar o tipo de cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a segunda equação $ x^{3} - 8 = 0 $:
Passo 5
Com $ x = 2 $, substituímos na primeira equação para encontrar $ y $:
Passo 6
Então, temos um ponto crítico em $ (2, -4) $.
Passo 7
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar as derivadas parciais segundas. Calculamos:
Passo 8
Calculamos o discriminante $ D $ para analisar o tipo do ponto crítico:
Substituindo em $ (2, -4) $:
Passo 9
Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (2, -4) $ é um ponto de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{3} y + 12x^{2} - 8y $ possui um ponto de sela em $ (2, -4) $. Não há valores máximos ou mínimos locais para essa função.