Exercício 4: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função.
f(x, y)=x^3 y+12 x^2-8 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{3} y + 12x^{2} - 8y $. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e analisar o comportamento da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras e segundas, encontrar os pontos críticos e então determinar o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
3x^2 y + 24x = 0 x^3 - 8 = 0

Passo 4

Vamos começar resolvendo a segunda equação $ x^{3} - 8 = 0 $:
x^3 - 8 = 0

Passo 5

Com $ x = 2 $, substituímos na primeira equação para encontrar $ y $:
x = 2

Passo 6

Então, temos um ponto crítico em $ (2, -4) $.

Passo 7

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar as derivadas parciais segundas. Calculamos:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6xy + 24 fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3x^2 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0

Passo 8

Calculamos o discriminante $ D $ para analisar o tipo do ponto crítico:
D
Substituindo em $ (2, -4) $:
D = fxx fyy - (fxy)^2

Passo 9

Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (2, -4) $ é um ponto de sela.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{3} y + 12x^{2} - 8y $ possui um ponto de sela em $ (2, -4) $. Não há valores máximos ou mínimos locais para essa função.

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