Use a integral dupla para determinar a área da região D
r=1-cos theta, r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da região D delimitada pelas curvas polares r = 1 - costheta e r = 1 + costheta. O conteúdo é integral dupla em coordenadas polares e vamos usar a fórmula da área em polares A = integral duplaD dA = tfrac12 integral (rexterno^2 - rinterno^2),dtheta. Precisamos encontrar os ângulos de interseção e definir qual curva é exterior em cada intervalo de theta.

Passo 2

Igualamos as curvas para achar os pontos de interseção:
1 - costheta = 1 + costheta Rightarrow costheta = 0 Rightarrow theta = tfracpi2, tfrac3pi2

Passo 3

Determinamos qual raio é maior em cada intervalo. Para costheta > 0 ( theta in (-tfracpi2, tfracpi2)), temos r = 1 + costheta >= 1 - costheta. Para costheta < 0 ( theta in (tfracpi2, tfrac3pi2)), inverte: r = 1 - costheta >= 1 + costheta.

Passo 4

Montamos a integral de área como soma em dois intervalos:
A = 12l(integral-tfracpi2^tfracpi2l[(1+costheta)^2 - (1-costheta)^2r],dtheta + integraltfracpi2^tfrac3pi2l[(1-costheta)^2 - (1+costheta)^2r],dthetar)

Passo 5

Simplificamos os integrandos:
(1+costheta)^2 - (1-costheta)^2 = 4costheta,
(1-costheta)^2 - (1+costheta)^2 = -4costheta

Passo 6

Calculamos as integrais:
integral-tfracpi2^tfracpi24costheta,dtheta = 8, integraltfracpi2^tfrac3pi2-4costheta,dtheta = 8

Passo 7

Somamos e aplicamos o fator tfrac12:
A = 12(8 + 8) = 8

Resposta

8

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