Exercício 6. Determine os valores reais de x que satisfazem a desigualdade x^3-2 x^2+x<0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^3-2x^2+x<0
O conteúdo aqui é desigualdade de polinômio: vamos fatorar o polinômio, encontrar suas raízes (pontos críticos) e estudar o sinal em cada intervalo resultante.

Passo 2

Fatoramos x^3-2x^2+x em evidenciando x:
x^3-2x^2+x = x,(x^2-2x+1)
Reconhecemos que
x^2-2x+1=(x-1)^2,
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x^3-2x^2+x = x,(x-1)^2

Passo 3

As raízes da expressão são as soluções de x,(x-1)^2=0, ou seja:
x=0(raiz simp<=s), x=1(raiz dupla)
Esses valores dividem a reta real em três intervalos: (-infty,0), (0,1) e (1,infty).

Passo 4

Para estudar o sinal de x,(x-1)^2:
  • O fator (x-1)^2 é sempre não negativo e só é zero em x=1.
  • Fora de x=1, (x-1)^2>0, então o sinal do produto é o mesmo sinal de x.
    • Em (-infty,0), x<0 Rightarrow produto negativo.
    • Em (0,1) e em (1,infty), x>0 Rightarrow produto positivo.
Como queremos x,(x-1)^2<0, a única parte onde isso ocorre é em (-infty,0).

Resposta

A solução da desigualdade é
x<0

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