Questão 1 Dado o campo vetorial V=x e^y z i+y j+y z k, Determine:
  1. (1,5 pt) Seu divergente nabla cdot V=
  2. (1,5 pt) Seu rotacional nabla times V=
  3. (1 pt) V é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial
V(x,y,z)=x,e^yz,i+y,j+y z,k
e pede (1) o divergente nablacdotV, (2) o rotacional nablatimesV e (3) verificar se V é conservativo, justificando. Vamos usar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas e a condição de campo conservativo em domínio simplesmente conectado.

Passo 2

Para o divergente usamos
nablacdotV =partialpartial xl(x e^yzr) +partialpartial y(y) +partialpartial z(y z)
Calculando as derivadas parciais:
partialpartial x(x e^yz)=e^yz, partialpartial y(y)=1, partialpartial z(y z)=y
Logo
nablacdotV=e^yz+1+y

Passo 3

Para o rotacional usamos
nablatimesV = i&j&k partialx&partialy&partialz x e^yz&y&y z
Isso dá as componentes
(nablatimesV)x =partialy(y z)-partialz(y)=z-0=z,
(nablatimesV)y =partialz(x e^yz)-partialx(y z) =x,y,e^yz-0=x,y,e^yz,
(nablatimesV)z =partialx(y)-partialy(x e^yz) =0-l(x,z,e^yzr)=-x,z,e^yz
Portanto
nablatimesV =z,i+x,y,e^yz,j-x,z,e^yz,k

Passo 4

Um campo vetorial definido em todo R^3 (que é simplesmente conectado) é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor nulo em todo ponto. Aqui nablatimesVneq0 (por exemplo, a componente x é zneq0 em geral), então V não é conservativo.

Resposta

Divergente:
nablacdotV=e^yz+1+y
Rotacional:
nablatimesV =z,i+x,y,e^yz,j-x,z,e^yz,k
Conservativo? Não, pois nablatimesVneq0.

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