Exercício 2: Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^3, y=0, x=1 e x=2 em torno do eixo x.
V=pi integral1^2(x^3)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada por y = x³, y = 0, x = 1 e x = 2, girada em torno do eixo x. Isto é um problema de volume de revolução pelo método dos discos, e vamos precisar usar a fórmula V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx.

Passo 2

Para montar a integral pelo método dos discos, consideramos o raio igual a y = x³. Assim o volume fica
V = π integral1^2 (x^3)^2 , dx = π integral1^2 x^6 , dx

Passo 3

Agora aplicamos a regra de integração de potências, ou seja, para n ≠ –1 temos ∫ x^n dx = x^n+1/(n+1). No nosso caso n = 6, então
integral x^6 dx = x^77 + C

Passo 4

Precisamos apenas do valor definido de 1 a 2. Portanto substituímos nos limites:
V = π g[x^77g]1^2 = π l(2^77 - 1^77r) = π 128 - 17 = 127π7

Resposta

127pi7

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