Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(i) integral 136+25 x^2 d x

Passo 1

O exercício pede o cálculo de integral 136 + 25x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções racionais que se reduzem ao padrão integral dxa^2 + x^2, cuja primitiva é 1aarctanxa + C. Vamos precisar reconhecer esse padrão e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Observamos que para usar a fórmula integral dxa^2 + x^2 = 1aarctanxa + C, precisamos escrever o denominador em forma de a^2(1+(x/a)^2). Aqui, a^2 = 36, mas temos 25x^2. Então fatoramos: 36 + 25x^2 = 36l(1 + (5x/6)^2r).

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 65tantheta
Nesse caso, o diferencial é
dx = 65sec^2theta,dtheta
e o denominador fica
36 + 25x^2 = 36sec^2theta

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral 136 + 25x^2,dx = integral 136sec^2theta cdot 65sec^2theta,dtheta = 65cdot136 integral dtheta = 130 integral dtheta

Passo 5

Integrando em theta resulta em
theta30 + C
Para voltar a x, usamos
theta = arctan!l(tfrac5x6r)

Passo 6

Portanto, a solução final é
integral 136 + 25x^2,dx = 130 arctan!l(tfrac5x6r) + C

Resposta

130arctanl(tfrac5x6r) + C

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