Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
§ integral sen(theta)cos ^3(theta) d theta

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integral sin(theta)cos^3(theta),dtheta. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e substituição de variáveis para simplificar a expressão.

Passo 2

Perceba que o integrando pode ser escrito como sin(theta),cos^-3(theta). Para eliminar o seno e o cosseno juntos, fazemos a substituição de variável: seja u = cos(theta). Então o diferencial é dado por du = -sin(theta),dtheta, ou seja, sin(theta),dtheta = -du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral sin(theta)cos^3(theta),dtheta = integral -duu^3 = -integral u^-3,du
Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2 + C
Portanto,
-integral u^-3,du = -gl(u^-2-2gr) + C = u^-22 + C

Passo 4

Voltando à variável original theta, como u = cos(theta), temos
u^-22 = 12,cos^2(theta) = 12sec^2(theta)
Assim obtemos a antiderivada desejada.

Resposta

12sec^2(theta) + C

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