Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(k) integral tan ^4(t) sec ^6(t) d t

Passo 1

A integral indefinida integral tan^4(t)sec^6(t),dt envolve Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis; vamos usar a identidade sec^2 t=1+tan^2 t e a substituição u=tan t.

Passo 2

Reescrevemos sec^6 t como sec^4 tcdotsec^2 t e aplicamos sec^2 t=1+tan^2 t para obter sec^4 t=(1+tan^2 t)^2. Assim o integrando vira:
tan^4 t,sec^6 t=tan^4 t,(1+tan^2 t)^2,sec^2 t

Passo 3

Fazemos a substituição u=tan t, logo du=sec^2 t,dt. A integral passa a ser:
integral u^4,(1+u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o quadrado:
(1+u^2)^2=1+2u^2+u^4,
então o integrando fica u^4+2u^6+u^8 e a integral é:
integrall(u^4+2u^6+u^8r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^4,du=u^55, integral2u^6,du=2u^77, integral u^8,du=u^99
Somando com +C, resulta em u^55+2u^77+u^99+C.

Passo 6

Voltamos à variável original u=tan t. Assim:
integraltan^4 t,sec^6 t,dt =tan^5 t5+2tan^7 t7+tan^9 t9+C

Resposta

tan^5 t5+2tan^7 t7+tan^9 t9+C

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