Exercício 3. Determine de modo que , onde A=(x, 1), B=(4, x+3), C=(x, x+2) e D=(2 x, x+6). Com este valor de x fixado:
a) Determine E, o ponto de interseção dos segmentos A D e B C.
b) Seja r a reta contendo E com a mesma direção que o vetor A B e s a reta contendo E com a mesma direção que o vetor A C. Determine as equações paramétricas e cartesianas das retas r e s, e encontre o ponto F na interseção das retas s e over<=ftrightarrowA B e o ponto G na interseção das retas r e over<=ftrightarrowA C.
c) Determine as coordenadas do ponto E no sistema de coordenadas S=(A, over<=ftrightarrowA B, over<=ftrightarrowA C) e escreva o vetor E A como combinação linear dos vetores A B e A C.
d) Determine o ângulo que A E faz com A B e com A C.
e) Determine a distância do ponto E a cada uma das retas over<=ftrightarrowA B, over<=ftrightarrowA C, over<=ftrightarrowB D e over<=ftrightarrowC D. Encontre em cada uma delas o ponto de menor distância ao ponto E.
Passo 1
O enunciado pede, primeiro, encontrar x tal que AB=CD. Em seguida, com esse x fixado, devemos:
– a) achar E, interseção de AD e BC;
– b) definir as retas r (direção AB) e s (direção AC) passando por E, dar suas equações paramétricas e cartesianas, e encontrar F=rcap over<=ftrightarrowAB e G=scap over<=ftrightarrowAC;
– c) expressar E no sistema de coordenadas S=(A,AB,AC) e escrever EA como combinação de AB e AC;
– d) calcular os ângulos entre AE e AB, e entre AE e AC;
– e) determinar a distância de E às retas over<=ftrightarrowAB,over<=ftrightarrowAC,over<=ftrightarrowBD,over<=ftrightarrowCD e os respectivos pés dessas distâncias.
Os conteúdos principais são vetores, interseção de retas, mudança de base, produto escalar e distância ponto–reta.
Passo 2
Calculemos AB=(4-x,,(x+3)-1)=(4-x,;x+2)
e CD=((2x)-x,,(x+6)-(x+2))=(x,;4).
Igualando coordenada a coordenada:
4-x = x, x+2 = 4
Da primeira vem 4=2x, ou seja x=2, que satisfaz x+2=4.
Passo 3
Com x=2 temos A=(2,1), B=(4,5), C=(2,4), D=(4,8).
A reta AD tem paramétrico
(2,1)+t,(2,7), tin[0,1],
e BC tem
(4,5)+u,(-2,-1), uin[0,1]
Igualando ,2+2t=4-2u e 1+7t=5-u
leva a t=tfrac12, u=tfrac12.
Logo
E=l(2+2cdottfrac12,;1+7cdottfrac12r)=(3,4,5)
Passo 4
A direção de AB é (2,4) e de AC é (0,3).
A reta r (por E, direção (2,4)) é
(x,y)=(3,4,5)+s,(2,4), sin R
em forma cartesiana pode ser escrita como
4(x-3)-2l(y-4,5r)=0 Long<=ftrightarrow 4x-2y-3=0
A reta s (por E, direção (0,3)) é
(x,y)=(3,4,5)+t,(0,3),
ou simplesmente
x=3
Para F=rcapover<=ftrightarrowAB, note que over<=ftrightarrowAB tem o mesmo vetor diretor de r, mas passa por A=(2,1): (x,y)=(2,1)+lambda(2,4). Interseção com x=3 dá 2+2lambda=3, lambda=1/2, então
F=(3,,1+4cdottfrac12)=(3,3)
Para G=scapover<=ftrightarrowAC, over<=ftrightarrowAC é (x,y)=(2,1)+mu(0,3) e em r temos x=3+2s. Igualando x=2 dá 3+2s=2, s=-tfrac12, então
G=(3-1,;4,5-2)=(2,2,5)
Passo 5
No sistema S=(A,AB,AC) escrevemos
AE=l(3-2,,4,5-1r)=(1,3,5)
Buscamos (u,v) tais que
(u,,,v)Longrightarrow u,(2,4)+v,(0,3)=(1,3,5)
Da primeira coordenada vem 2u=1, u=tfrac12. Da segunda 4u+3v=3,5 leva a 2+3v=3,5, v=tfrac12.
Assim as coordenadas de E em S são l(tfrac12,tfrac12r), e
e) d(E,over<=ftrightarrowAB)=3/(2raiz5)approx0,6708, pé (3,6,4,2). d(E,over<=ftrightarrowAC)=1, pé (2,4,5). d(E,over<=ftrightarrowBD)=1, pé (4,4,5). d(E,over<=ftrightarrowCD)=3/(2raiz5)approx0,6708, pé (2,4,4,8).