Se
e
são operadores ortogonais, qual das seguintes operações resulta em um operador ortogonal?
Escolha uma opção:
a.
(composição)
b.
c.
d. Nenhuma das alternativas
e.
interior
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a.
b.
c.
d. Nenhuma das alternativas
e.
interior
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Passo 1
O enunciado diz que
e
são operadores ortogonais em um espaço com produto interno e pergunta qual das operações abaixo gera de novo um operador ortogonal:
a.
b.
c.
d. Nenhuma
e.
a.
b.
c.
d. Nenhuma
e.
Conteúdo: propriedades de operadores ortogonais (preservam produto interno e norma), especialmente fechamento sob composição e inversão.
Passo 2
Um ponto-chave é que o conjunto de todos os operadores ortogonais forma um grupo sob a operação de composição. Isso significa que, se
e
são ortogonais, então:
-
é ortogonal. - A inversa de um operador ortogonal também é ortogonal (de fato
, pois o inverso coincide com o adjunto).
Passo 3
Analisando cada alternativa além da composição:
- Escalar um operador ortogonal por
(ou qualquer ) não preserva norma, logo não é ortogonal. - A soma de dois operadores ortogonais (
ou mesmo ) em geral não preserva o produto interno, logo também falha em ser ortogonal.
Passo 4
Portanto a única operação da lista que garante produzir novamente um operador ortogonal é a composição
.
Resposta
(a)