Se S e T são operadores ortogonais, qual das seguintes operações resulta em um operador ortogonal?
Escolha uma opção:
a. S circ T (composição)
b. 2 S
c. S+T
d. Nenhuma das alternativas
e. S^-1+T^-1
interior
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Passo 1

O enunciado diz que S e T são operadores ortogonais em um espaço com produto interno e pergunta qual das operações abaixo gera de novo um operador ortogonal:
a. Scirc T
b. 2S
c. S+T
d. Nenhuma
e. S^-1+T^-1
Conteúdo: propriedades de operadores ortogonais (preservam produto interno e norma), especialmente fechamento sob composição e inversão.

Passo 2

Um ponto-chave é que o conjunto de todos os operadores ortogonais forma um grupo sob a operação de composição. Isso significa que, se S e T são ortogonais, então:
  1. Scirc T é ortogonal.
  2. A inversa de um operador ortogonal também é ortogonal (de fato S^-1=S^T, pois o inverso coincide com o adjunto).

Passo 3

Analisando cada alternativa além da composição:
  • Escalar um operador ortogonal por 2 (ou qualquer lambdaneqpm1) não preserva norma, logo 2S não é ortogonal.
  • A soma de dois operadores ortogonais ( S+T ou mesmo S^-1+T^-1) em geral não preserva o produto interno, logo também falha em ser ortogonal.

Passo 4

Portanto a única operação da lista que garante produzir novamente um operador ortogonal é a composição Scirc T.

Resposta

(a) Scirc T

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