Julgue a afirmação a seguir:
"Dados os subespaços U=(x, y) in R^2 / x+y=0 e W=[(1,1)] de R^2, podemos afirmar que R^2=U oplus W.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Temos os subespaços de R^2
U = (x,y)mid x+y=0 e W = span(1,1)
Queremos verificar se
R^2 = U oplus W,
isto é, se vale simultaneamente
  1. Ucap W = (0,0),
  2. U + W = R^2.

Passo 2

Calculamos a interseção
Da segunda equação , ou seja , logo e . Assim

Passo 3

Mostramos que U+W=R^2. Note que
U=span(1,-1) e W=span(1,1)
Como (1,-1) e (1,1) são linearmente independentes em R^2, a soma dos seus spans tem dimensão
dim(U+W)=dim U + dim W = 1+1 = 2 = dimR^2
Logo U+W=R^2.

Resposta

Verdadeiro

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